高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性导学案北师大版选修1

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1、4.1.1　导数与函数的单调性学习目标　1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间.知识点一　函数的单调性与导函数正负的关系思考　观察下列各图，完成表格内容函数及其图像切线斜率k正负导数正负单调性正正[1，＋∞)上单调递增正正R上单调递增负负(0，＋∞)上单调递减负负(0，＋∞)上单调递减负负(－∞，0)上单调递减梳理　一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上(1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上是增加的.(2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上是减少的.导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势

2、函数的单调性>0>0锐角上升单调递增<0<0钝角下降单调递减知识点二　函数的变化快慢与导数的关系思考　我们知道导数的符号反映函数y＝f(x)的增减情况，怎样反映函数y＝f(x)增减的快慢呢？能否从导数的角度解释变化的快慢呢？答案　如图所示，函数y＝f(x)在(0，b)或(a，0)内导数的绝对值较大，图像“陡峭”，在(b，＋∞)或(－∞，a)内导数的绝对值较小，图像“平缓”.梳理　一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些.类型一　原函数与导函数的关系例1　已知函数y＝f(x)的图像

3、如图所示，则函数y＝f′(x)的图像可能是图中的(　　)答案　C解析　由函数y＝f(x)的图像的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：x(－1，b)(b，a)(a，1)f(x)↘↗↘f′(x)－＋－由表可知函数y＝f′(x)的图像，当x∈(－1，b)时，函数图像在x轴下方；当x∈(b，a)时，函数图像在x轴上方；当x∈(a，1)时，函数图像在x轴下方.故选C.反思与感悟　(1)对于原函数图像，要看其在哪个区间内单调递增，则在此区间内导数值大于零.在哪个区间内单调递减，则在此区间内导数值小于零.根据导数值的正负可判定导函数图像.(2)对于导函数的图像可确定原函数的增减区间及增减快

4、慢.跟踪训练1　已知y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能是如图所示的(　　)答案　C解析　由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图像的上升和下降趋势.由已知可得x的取值范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：x(－∞，0)(0，2)(2，＋∞)f′(x)＋－＋f(x)↗↘↗由表可知f(x)在(－∞，0)上是增加的，在(0，2)上是减少的，在(2，＋∞)上是增加的，满足条件的只有C，故选C.类型二　单调区间的求解及单调性证明命题角度1　求函数的单调区间例2　求f(x)＝3x2－2lnx的单调区间.解　f(x)＝3x2－2ln

5、x的定义域为(0，＋∞).f′(x)＝6x－＝＝，由x>0，解f′(x)>0，得x>.由x<0，解f′(x)<0，得00，函数在定义域内的解集上为增函数.(4)解不等式f′(x)<0，函数在定义域内的解集上为减函数.跟踪训练2　求函数f(x)＝的单调区间.解　函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞).f′(x)＝＝.因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex

6、>0，(x－2)2>0.由f′(x)>0，得x>3，所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；由f′(x)<0，得x<3.又函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2，3).命题角度2　证明函数的单调性例3　证明函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数.证明　由题意，得f′(x)＝＝.∵00，∴f′(x)＝>0.根据导数与函数单调性的关系，可得函数f(x)＝在区间(0，2)上是单调递增函数.反思与感悟　利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)＝f(x)－g(x).(2)求

7、导：F′(x)＝f′(x)－g′(x).(3)判断函数的单调性.(4)若F(x)在区间上的最小值大于等于0，则f(x)≥g(x)；若F(x)在区间上的最大值小于等于0，则f(x)≤g(x).跟踪训练3　证明：函数f(x)＝在区间上是减少的.证明　f′(x)＝，又x∈，则cosx<0，所以xcosx－sinx<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在上是减少的.类型三　含参数函数的单调性例4　若函数f