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《高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.1导数与函数的单调性学案北.》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1.1导数与函数的单调性理数材自爻白測00-基础”"1T学习区I课标解读1.结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系.2.正确理解利用导数判断函数单调性的思想方法，并能灵活运用.（重点、难点）3.会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（重点）导数与函数的单调性【问题导思】函数/U）2x—2的图像如图所示:（1）当尬丘（一8,1）时，函数在（折，/（^0））处的切线斜率尸（心）大于零还是小于零?⑵函数f'3=x~2x~2在（一8,1）上的单调性如何？【提示】（1）小于零；（2）是
2、减少的.导函数的符号与函数的单调性之间的关系如果在某个区间内，函数y=f（x）的导数尸（x）＞0,则在这个区间上，函数y=fx）是增加的.如果在某个区间内，函数y=/tr）的导数f（方〈0,则在这个区间上，函数y=f{x）是减少的.破妖酬师主互动找“知JU”合作探宪区♦利用导数判断单调性求下列函数的单调区I'可:(1)f^x)=sinx—x,x^.(0,兀)；(2)fx)=~x+3x,【思路探究】先求出函数fd)的导数，再令导数大于或小于0,解不等式，最后结合导歯数的符号与歯数的单调性之间的关系来求函数的单
3、调区间.【自主解答】⑴尸(%)=cosX—1,v%e(o,兀),・*.COS(—1,1),:,F(方〈0恒成立，即函数代劝在(0,兀)上是减少的.故函数fd)的递减区间是(0,兀)・(2)f(%)=—3#+6x=—3%(%—2).当(%)>0时，02,因此，函数£(/)的减区间为(—8,0)和(2,+°°).I规律方法I1.若函数的单调区间不止一个，则在写这些区间时，应该用逗号分开或者用“及”、“和”连接,切忌用并集符号或者“或”连接，如
4、本题第(2)小题的递减区间不能写成(一8,0)U(2,4-00).2.利用导数求函数单调区间的基本步骤(1)确定函数f(x)的定义域.(2)求导数尸(方・(3)确定尸(方>0(或厂3〈0)时相应的JV的范围：当尸(0〉0时，現方在相应的区间上是增加的；当rUX0时，r(方在相应的区间上是减少的.•变itillltS求下列函数的单调区间：4⑴f(x)=~x—2x+8；(2)f(x)=3*—21nx.【解】(1)函数代方的定义域为R.F(x)=4,—4x=4x(x—1),令尸3>0,得%<0或%>1,・•・函数fd
5、)的单调递增区间为(一8,0)和(1,+8)；令尸(x)<0,得O0,即2・>0,XQX—1令尸3〈0,即2・一^〈0,•=〉0,•••・・・fd）的单调递增区I'可为（平，+-）,单调减区间为（0,利用单调性求参数的取值范围若函数代方在实数集R上单调递增，求实数臼的取值范围【思路探究】由fd）在R上是增加的，知尸320对XUR恒成立，从而转化为一元二次不等式恒成立
6、问题求解.【自主解答】由已知尸（劝=3#—&•.*f（x）在（一8,+8）上是增函数，f（力=3#—日$0在（―°°,+8）上恒成立.即a^3x对%ER恒成立.V3/>0,・•・只要&WO.fx）=x—ax—1在R上是增函数.・•・曰W0.即$的取值范围（一8,0］I规律方法I1.要验证尸3=o的情况.2.已知函数的单调性求参数取值范围的思路：函数在区间冷，方］上是增加的（减少的）转化成f尸（020（尸（0WO）在区间3,方］上恒成立问题f利用分离参数法或函数性质求解不等式恒成立问题一注意对等号单独验证.将本
7、例中的条件“在(一8,+8)上是增加的”变为“在(1,2)上是增加的”，求实数a的取值范围.【解】因为尸(刃=3,—臼，・・・代方在(1,2)上是增加的，:,f(方=3/—臼事0在(1,2)上恒成立，即&W3,在(1,2)上恒成立.V3/&3,・・・自£3,即已的范围为(—8,3].込利用函数单调性证明不等式卜例~当Q2时，求证：/丄l>lnx、【思路探究】可设/W=x-l-ln%通过只劝的单调性证明/V)>0.【自主解答】设/(%)=^—1—Inx(x>2),1X~1XX•・・Q2,・••尸(x)>0.・••
8、当Q2,吋，A^)=a—1-lnQf(2)=l—In2>l-lne=0.f{x)>0,即a—1—Inx>0,a—l>lnx(x>2)・I规律方法I1.本题关键是构造函数fd)，借助函数的单调性来证明不等式.2•利用导数证明不等式的一般步骤(1)构造函数：F(x)=f(x)—g(x).(2)求导：F3=F3—g'3・(3)判断函数的单调性.(4)求尸(力在区间上的最小值为0,证得f{x)
