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《高中数学第四章导数应用4.1函数的单调性与极值4.1.2函数的极值导学案北师大版选修1-1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、4.1.2函数的极值【学习日标】i.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用.2.常握函数极值的判定及求法.3.常握函数在某一点取得极值的条件.n问题导学知识点一函数极值的概念函数y=f{x）的图像如图所示.思考1函数在点/=日的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答案函数在点/=日的函数值f（日）比它在点/=已附近的其他点的函数值都小.思考2尸（日）为多少？在点/=日附近，函数的导数的符号有什么规律？答案@）=0,在点x=a附近的左侧尸（x）〈0,右侧尸（x）>0.思考3函数在点处的情况呢？答案函数在点x=b
2、的函数值代方）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f（方）=0,且在点x=b附近的左侧尸（0>0,右侧f（^）<0.梳理（1）如图1,在包含从的一个区间（日，力）内，函数y=f^在任何一点的函数值都小于或等于心点的函数值，称点必为函数y=fU的极大值点，其函数值代必）为函数的极大值.（2）如图2,在包含師的一个区间力）内，函数在任何一点的函数值都大于或等于心点的函数值，称点心为函数y=f^的极小值点，其函数值八心）为函数的极小值.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.知识点二求函数f（x）的极值的步骤1.求出导数尸（X）.1.解
3、方程尸（x）=0.2.对于方程尸匕）=0的每一个解血分析尸（力在必左、右两侧的符号（即的单调性）,确定极值点：⑴若尸3在心两侧的符号为“左正右负”，则尬为极大值点；⑵若f（0在及两侧的符号为“左负右正”，则心为极小值点；⑶若尸3在心两侧的符号相同，则心不是极值点.题型探究类型一判断与求解极值（点）例1判断下列函数有无极值，如果有极值，请求出极值；如果无极值，请说明理由.（1）/U）=
4、/+4；（2）f{x）=^x+x+4x.解（l）fU）=Z令f3=o,解得x=o.当/变化时，f3,fd）的变化情况如下表：X(一8,0)0(0,+°°)f（X）+0+
5、心）7无极值/rh上表对知，该函数无极值.（2）因为尸（x）=x"+2x+4=（x+1）"+3〉0,所以函数f（x）在R上为增函数，无极值.反思与感悟（1）导数值为0的点不一定是函数的极值点，函数在某点的导数值为0是取得极值的必要条件，而不是充分条件.（2）求可导函数fx）的极值的步骤①确定函数的定义域，求导数尸（力；②求fd）的拐点，即求方程尸（劝=0的根；③利用尸（x）与f（x）随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.特別提醒：在判断尸（方的符号时，借助图像也可判断尸（力各因式的符号，还可用特殊值法判断.跟踪训练1求下列函数
6、的极值：(1)fx)=2%+3/—12^+1；3(2)心=一+31nx.x解⑴函数fx}=2/+3/-12^+1的定义域为R,f(x)=6,+6x—12=6(x+2)(x—1),解方程6(x+2)(x—1)=0,得x】=—2,%2=1.当x变化吋，尸(方与f(x)的变化情况如下表：X(—8,—2)-2(—2,1)1(1,+°°)f3+0—0+/V)/极大值21X极小值一6/所以当x=-2吋，f(x)取极大值21；当/=1时，取极小值一6.3(2)函数f(/)=-+31nx的定义域为(0,+8),x，/、3,33x-lF(%)=+_=2,XXX令f
7、(%)=0,得x=.当/变化时，尸(方，的变化情况如下表：X(0,1)1(1，+°°)f(X)—0+f(x)X极小值37因此当/=1时，fd)有极小值3,无极大值.类型二已知函数极值求参数例2已知函数fx)=x+?>ax+bx+a在x=—1处有极值0,则a=,b=答案29解析T尸3=3,+6”+方，且函数f(x)在/=—1处有极值0.ff-1=0,]3_6日+方=0,即{•>f—1=0,[―1+3曰一方+/=0,解得a=l,b=38=2,b=9.当c?=l,力=3时，f(力=3#+6/+3=3匕+1)2$0,此时函数f(劝在R上为增函数，无极值，
8、故舍去.当a=2,方=9时，f(x)=3/+12x+9=3(x+l)(x+3).当xe(-oo,—3)吋，f(对>0,此时f(x)为增函数；当xe(-3,—1)时，f(方〈0,此时代方为减函数；当xe(-l,+8)时,尸(0>o,此时fd)为增函数.故f(x)在x=—处取得极小值，.：日=2,方=9.引申探究1•本例的其他条件不变，如果直线y=£与函数图像有三个交点，求£的取值范围.解由例2知代劝极小值=f(—1)=0,fO)极大值=代一3)=4,由图像可知当0<&〈4时，直线尸斤与函数图像有三个交点.2.若本例的条件改为“x=—3,x=—是/'
9、(^)=x+3ax+bx+a的两个极值点”，求常数a,Z?的值.解r(%)=3/+6^+Z?=0的两根为一3
