备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽 专题29 数列结合其他问题考查更精彩 word版含解析

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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第29讲数列结合其他问题考查更精彩考纲要求:能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．基础知识回顾:1.数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下2.等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．3.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．4.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1

2、之间的递推关系．应用举例:类型一、等差数列与等比数列的综合应用【例1】【2017河南省郑州市高三质检】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.【答案】（1）an＝2n＋10.（2）见解析；（3）Tn＝.-10-(3)由nbn＝n×4n，得Tn＝1×4＋2×42＋…＋n×4n，①4Tn＝1×42＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，②①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1.所以Tn＝.【例2】【2017河南省天一大联考】已知

3、各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.【答案】（1）；（2）.点评：等差数列、等比数列综合问题的2大解题策略(1)设置中间问题：分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．-10-(2)注意解题细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．类型二、数列与函数的交汇【例3】【2017广西南宁高

4、三模拟】设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)证明：数列{bn}为等比数列；(2)若a1＝1，f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Sn.【答案】（1）见解析；（2）Sn＝..【解析】(1)证明：由已知，bn＝2an>0，当n≥1时，＝2an＋1－an＝2d.所以，数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意，a2－＝2－.解得a2＝2.所以，d＝a2－a1＝1

5、，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n.于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n·4n＋1.因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1＝.所以Sn＝.【例4】【2017大连市一中高三摸底考试】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n(n∈N*)．(1)求f(x)的解析式；(2)若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式．【答案】（1）f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．（2）an＝(n∈N*)．-10-类型三、数列与

6、不等式的交汇【例5】【2017广东省惠州市高三第一次调研考试】设，，若是和的等比中项，则的最小值为（）A．B．8C．9D．10【答案】C【解析】因为，所以，，当且仅当即时“=”成立。【例6】【2017新疆兵团农二师华山中学高三试题】已知数列{an}前n项和为Sn，满足Sn=2an-2n(n∈N*)．（1）证明：{an+2}是等比数列，并求{an}的通项公式；（2）数列{bn}满足bn=log2(an+2)，Tn为数列{}的前n项和，若对正整数a都成立，求a的取值范围．【答案】(1)；（2）.【解析】(1)由题设，两式相减得，即.又，所以是以为首项，为公比的等比数列，则-10-，又，所以（

7、2）因为，则所以，依题意得：点评：数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等．总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．类型四、等差数列与等比数列的实际应用【例7】【2017株洲高三摸底考试】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，