数列结合其他问题考查更精彩-备战2019年高考高三数学--精校解析Word版

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1、【备战2019年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】考纲要求:能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．基础知识回顾:1.数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下2.等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．3.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．4.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，

2、应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．应用举例:类型一、等差数列与等比数列的综合应用【例1】【陕西省西安市第一中学2019届高三上学期第一次月考】已知等差数列的前n项和为，各项为正的等比数列的前n项和为，，，.（1）若，求的通项公式；（2）若，求【答案】(1),(2)【解析】【分析】（1）首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于与的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2）根据题中所给的条件，求得

3、其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1)设的公差为d，的公比为q，由得d+q=3，由得2d+q2=6,解得d=1,q=2.所以的通项公式为；（2）由得q2+q-20=0,解得q=-5（舍去）或q=4，当q=4时，d=-1，则S3=-6。【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的通项公式与求和公式，正确理解与运用公式是解题的关键，注意对所求的结果进行正确的取舍.【例2】【河北省武邑中学2019届高三上学期第三次调研考试】已知

4、数列的首项，前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用an+1=2Sn+1，an=2Sn-1+1（n≥2）两式相减推出{an}是以3为公比的等比数列．然后求解通项公式；（2）化简bn＝log3an+1＝log33n＝n，得到an+bn＝3n−1+n，利用拆项法求解数列的和即可．（2），所以，【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，通项公式求法，考查转化思想以及计算能力．类型二、数列与函数的交汇【例3】设等差数列{a

5、n}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.【答案】（1）n2－3n.（2）Tn＝.【解析】【分析】（1）先根据已知求出d=2,再根据等差数列的前n项和公式求数列{an}的前n项和Sn..(2)先求出切线方程y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，由题即得a2－＝2－，

6、解得a2＝2.从而an＝n，bn＝2n，＝，再利用错位相减求数列的前n项和Tn.(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，其在x轴上的截距为a2－.由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，所以数列{}的通项公式为＝，所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋，因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以，Tn＝.【点睛】（1）本题主要考查导数的几何意义，考查等差数列的通项和前n项和，考查利

7、用错位相减法求和,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)若数列，其中是等差数列，是等比数列，则采用错位相减法.【例4】【河北省衡水中学2018年高考押题(一）】已知函数，数列的前项和.点在图像上，且的最小值为（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，记数列的前项和为，求证：【答案】(1).(2)见解析.【解析】分析：(1)先根据二次函数性质求函数最小值，得，再根据和项与通项关系求，(2)代入化简得，再根据裂项相消法求和得，即证得结论.（2）证明：由（1）知所以，所以点睛：裂项相消法

8、是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如(其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列.裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.类型三、数列与不等式的交汇【例5】【江苏省南京师范大学附属中学2018届高三5月模拟考试】已知等差数列和等比数列均不是常数列，若，且成等比数列，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）设是正整数，若存在正整数，使得成等差数列，求的最小值；（3）令，记的前项和为的前项和