数列综合问题（练）-2019年高考数学---精校解析Word版

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1、数学试题1.若无穷数列满足：恒等于常数,则称具有局部等差数列.（1）若具有局部等差数列，且，求；（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有局部等差数列，并说明理由；（3）设既具有局部等差数列，又具有局部等差数列，求证：具有局部等差数列.2.已知数列是首项为、公比为的等比数列，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列前项和为，求所有满足等式成立的正整数；（3）若且对任意都有，求实数的取值范围．【解析】（1）依题意，由可得当时，当时，，因此（2）由题意得，由得，化简得，由得；因为，所以，当时，由式得，无

2、正整数解；当时，由式得，无正整数解；当时，由式得，所以．综上可知，满足条件的正整数3.设等比数列的各项均为正数，前项和为，且.（1）求；（2）是否存在常数，使得数列是等差数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设等比数列的公比为，因为各项均为正数，所以.由得，解得已舍去.所以.（2）设，由（1）知.若数列是等差数列，则成等差数列，于是，即，整理得，解得或.当时，，满足，所以是等差数列；当时，，则，所以，舍去.综上，存在唯一的常数满足题意.4.已知为正整数，数列满足，，设数列满足.（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列是等差

3、数列，求实数的值；（3）若数列是等差数列，前项和为，对任意的，均存在，使得成立，求满足条件的所有整数的值.当=12时，，，，5．已知数列的前项和为，满足，且，正项数列满足，其前7项和为42．（1）求数列和的通项公式；（2）令，数列的前项和为，若对任意正整数，都有，求实数的取值范围；（3）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．【答案】（1）；（2）；（3），【解析】（1）∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列，∴，即，∴，又，∴．∵，∴，又，∴，∴数列是等差数∴，∵

4、对任意正整数，都有恒成立，∴．（3）数列的前项和，数列的前项和，①当时，；②当时，，特别地，当时，也符合上式；③当时，．综上：，．6.已知数列的首项，且满足，其中.设数列的前项和分别为.（Ⅰ）若不等式对一切恒成立，求；（Ⅱ）若常数且对任意的，恒有，求的值；（Ⅲ）在（2）的条件下且同时满足以下两个条件:（ⅰ）若存在唯一正整数的值满足；(ⅱ)恒成立.试问：是否存在正整数，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】故，而，因为，所以，令，则所以存在正整数，使得，此时，或者.7.在数列中，已知为常数．（Ⅰ）证明：成等差数列；（Ⅱ）设，求数列

5、的前项和；（Ⅲ）当时，数列中是否存在三项成等比数列，且也成等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）因为，所以，同理，，，又因为，，所以，故，，成等差数列．（Ⅱ）由，得，令，则，，所以是以0为首项，公差为的等差数列，则，即，因为成等比数列，所以，所以，化简得，联立，得．这与题设矛盾．故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．Snan＋1＋an＋28.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足(n＋1)bn＝an＋1－n，(n＋2)cn＝2－Snn，其中n∈N*．（1）若数列{an}是公差为2的等差数列，求数

6、列{cn}的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列．解：（1）因为{an}是公差为2的等差数列，1因此cn＝2(bn＋bn＋1)．1因为对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，所以λ≤cn＝2(bn＋bn＋1)≤λ，故bn＝λ，cn＝λ．Sn所以(n＋1)λ＝an＋1－n，①1Sn(n＋2)λ＝2(an＋1＋an＋2)－n，②1②－①，得2(an＋2－an＋1)＝λ，即an＋2－an＋1＝2λ．故an＋1－an＝2λ(n≥2)．S1又2λ＝a2－1＝a2－a1，则an＋1－an＝2λ(n≥1

7、)．所以数列{an}是等差数列．9．设数列的前n项和为Sn，且满足：①；②，其中且．（1）求p的值；（2）数列能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r2时，数列是等差数列．解：（1）n1时，，因为，所以，又，所以p1．（2）不是等比数列．理由如下：……10．已知正项数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若对于，都有成立，求实数取值范围；（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列，且，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列．【解析】（1）当时，，故；当时，，所以，即，又，所以，所以，，，故（2）当为奇数时，，由得，恒成立

8、，令，则，所以．当为偶数时，，由得，恒成立，所以．又，所以实数的取值范围是．（3）当时，若为奇数，则，所以．解法1：令等比数列的公比，则．设，因为，所以，，因为为正