备战2017年高考高三数学一轮热点难点一网打尽专题14导数法妙解极值最值问题word版含解析

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1、【备战2017年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】第14讲导数法妙解极值、最值问题考纲要求：1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数不超过三次）.基础知识回顾：1、求函数的极值（1）设函数y=/（%）在兀二兀。及其附近有定义，如果/（观）的值比兀。附近所有各点的值都大（小），则称/（兀。）是函数y=/U）的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D,再求导，再解方程/'（x）=0（注意和D求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在/（力点X

2、。连续时，如果兀。附近左侧/（%）>0,右侧fx）<0,那么/Go）是极大值。一般地，函数在/⑴点兀。连续时，如果X。附近左侧/（%）<0,右侧fx）>0,那么/（兀（））是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数/（劝在点X。处冇极值是/6（））=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求

3、函数的最值（1）设y=/（x）是定义在闭区间匕切上的函数，y=/（x）在仏b）内有导数，可以这样求最值:①求出函数在仏◎内的可能极值点（即方程f，（X）=O在仏耐内的根易丹…心）；②比较函数值/（d）,/（b）与/（西）,/（兀2）,•••,/（兀），其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间S,b）,则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、知图判断函数极值【例1】【2017山东省枣庄八中高三月考】设两数f（x）在R上可导，其导函数为尸（方,则下列结论屮一定成立的是（A.函数fg有极大值A2）和极小值f⑴B.函数tx）有

4、极大值A-2）和极小值A1）C.函数/U）有极大值/'⑵和极小值f（_2）D.函数/tv）有极人值A-2）和极小值/'（2）【答案】D【解析】由图可知，当x<—2时，f（x）>05当一22时,f（x）>0.由此可以得到函数在x=-2处取得极犬值，在处取得极小值.【例2】【2017北京市高三入学定位考试】己知函数fd）的定义域为（日，方），导函数尸（对在（臼，方）上的图象如图所示，则函数代劝在（臼，方）上的极人值点的个数为（）A.1A.2B.3C.4【答案】B【解析】山函数极值的定义和导函数的图象可知，f‘(X)在(a,b)上

5、与x轴的交点个数为4,但是在原点附近的导数值恒大于零，故x=0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足英附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.类型二、正向思维已知解析式求极值或最值【例3][2017L1I东济南市高三摸底考试】设函数nx~bx^x>^,若函数f(x)在x=1处与直线尸一*相切，⑴求实数/Q的值；(2)求函数/'(力在匕，e上的最大值.a=l,【答案】{1;一£临・2【解析】(1)f^(x)=--2bx,X•・•函数£(x)在x=l处与直线y=-扌相切,fr1=a-2b=0,f1=-b=-p解得」b=l-_1—x2⑵由⑴得f(x

6、)=lnx—*2,则")=/XXT当乂x《e时，令£"(x)>0得Mx

7、2=0.；(2)见解析；【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0,+-),ff(x)=l--x2⑴当a=2时，f(x)=x—21nx,f1(x)=1—(x>0)，因为f(1)=1,f‘(1)=—1,x所以曲线y=f(x)在点A(l,f(D)处的切线方程为y—1=—(x—1),即x+y—2,、iax—a.(2)由f‘(x)=l一一=,x>0知：XX①当aWO时，f‘(x)>0,函数f(x)为(0,+s)上的增函数，函数f(x)无极值;①当a>0时，由f'(x)=0,解得x=a.又当xe(0,a)时,f‘(x)<0；当xe(a,