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1、2019高考数学一轮复习专题突破14【导数法妙解极值、最值问题】考纲要求：1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数不超过三次）.2.会求闭区间上函数的最人值、最小值（对多项式函数不超过三次）.基础知识回顾：1、求函数的极值（1）设函数在兀二兀及其附近有定义，如果/（兀0）的值比兀0附近所有各点的值都大（小）,则称，（兀0）是函数〉'=/（兀）的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域D,再求导，再解方程f°（注意和D求交集）,最后列表确定极值。一般地，函数在/（兀）点％连续时，如
2、果％附近左侧右侧f°）vo,那么/（兀。）是极大值。一般地，函数在/（兀）点如连续时，如果尢。附近左侧右侧•厂（兀）＞0,那么/（兀。）是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）-般地，连续函数/（X）在点％处有极值是/（无。）二0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1
3、）设丁=/（兀）是定义在闭区间［⑦列上的函数，）‘=/（兀）在（°力）内有导数，可以这样求最值：①求出函数在（°力）内的可能极值点（即方程f（力=°在仗力）内的根“，•・•，£）；②比较函数值/⑺），/的与/（西），/（兀2），…，/（兀J,其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间（％）,则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、知图判断函数极值【例1】【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】如图，已知直线丫=滋与曲线y=f（x）相切于两点,函数g（x）=kx+m,则函数F（x）=
4、g（x）-f（x）A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值【答案】C【解析】【分析】首先分析函数的图像，从图中读出相应的信息，根据条件，判断广00与k的关系，进行判断，从而求得结果.【详解】因为直线直线y=心与曲线y=fO)相切于两点，所以心=fG)有两个根，且fG)兰也因为FG)=00)—f(x)=kx^-m-所以Fa)=—f(D从图中可以发现，函数有两个极大值点，一个极小值点，结合函数的图像，可以得到F(x)至少有两个极小值和一个极大值，故选C.【点睛】该题考查的是有关利
5、用函数图像解题的问题，在解题的过程中，需要认真分析，读出图中所给的相关信息，对函数求导，分析f'(x)与k的关系，从而判断出函数的极值点的个数，得到结果.【例2】【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】如图，可导函数丫=f(x)在点P(x0/f(x0))处的切线为l：y=g(x),设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是()A.h，(xo)=0,x=X。是h(x)的极大值点B.hz(x0)=0,x=X。是h(x)的极小值点A.hz(x0)=0,x=X。不是h(x)的极值点B.hz(xo)=0,x=X。是h(x)的极值点【答案】B
6、【解析1分析：从图像看，在如+8）上，减0为増函数〉在（-8山D）上〉瓜＞）是减函数，故可判断无=利为肌妙的极小值点.详解:由题设有gS=fga-%）+f（xD）,故/i&）=f（x）一r^xx一坯）一f（xD）,所以hx）=r（x）—fg因为卅aj=『仕。）一r（x0）=o.又当x时,有＜0,当工＞补时，有卅（©＞0,所加=利是九0）的极小值点，故选B・点睛：函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数團像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在利的附近的任意鼻,有代坊＞他°）（代刃＜代珈）厂・另外如果f（Q在坯附近可导且坯的左右两
7、侧导数的符号发生变化，贝收必为函数的极值点.类型二、正向思维：已知解析式求极值或最值【例3】［2017ll
8、东济南市高三摸底考试】设函数f（x）=alnx-bx2（x＞0）,若函数f（x）在x=l处与直线y=—*相切，⑴求实数a,b的值；（2）求函数f（x）在丄，e］上的最大值.5=1,【答案】』丄；~2'bp【解析】(W)=~2to,•・•函数用)在x=l处与直线丁=一扌相切,⑵由⑴待血)=加一醫，则rf1=a~2b=Q,T当时，令/(x)AO曙旨<1：^/(x)<0,得1<心，5)在号，1］上单调逋壤，在［1,打上单调递轧5).沁=沖)=一扌
9、点评：求函数血在［么可上的武大值和贡》值3步骤〔1)求函数在◎内的披值：〔2)求函数在区间端点的函数值人①，叭学&科网⑶将函数夬4的极值
