三角函数性质讲义

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1、三角函数的性质讲义一、【知识要点】1、图象和性质图表解函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域RR值域最大值为1，最小值为-1最大值为1，最小值为-1R无最大值，最小值周期性最小正周期为最小正周期为最小正周期为奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在[上都是增函数；在[上都是减函数（kZ）在[（）上都是增函数；在[]都是减函数在（上都是增函数对称性既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标，以上的既是轴对称又是中心对称图形对称轴对称中心坐标为，以上的是中心对称图形对称中心坐标,(kZ)二、【知识应用】（一）、求定义域　　例1．求函数的定义域。　　解:(1)解不等式组　∴函数定义

2、域是.（二）．利用三角函数的性质比较大小例1、(2008天津文)设、、，则（）A．B．C．D．解：由，因为，所以，故选D．点评：掌握正弦函数与余弦函数在［0，］，［，］的大小的比较，画出它们的图象，从图象上能比较它们的大小，另外正余弦函数的值域：［0,1］，也要掌握。（三）．复合型三角函数图像的识别例2、(2008山东文、理)函数其中的图象是（）yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．解：（）是偶函数，可排除B、D，由的值域可以确定.因此本题应选A.（四）、求值域、最值1、利用三角函数的有界性求值域1、形如y=asinx+bcosx+c型引入辅助角公式化为sin(x+φ

3、)+c再求值域.例1、求函数f(x)=2sinx+cos(x+)的值域解：f(x)=2sinx+cosx－sinx=（2－）sinx+cosx=，故f(x)∈[]2、形如y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型通过降幂转化为Asinx+Bcosx再求值域.例2、f(x)=2asinx·cosx-2asin2x+1（a>0）的值域解：f(x)=asin2x+acos2x-a+1=2asin(2x+)-a+1∵a>0，sin(2x+)-a+1∴f(x)∈[-3a，a+1]2、用换元法化为二次函数求值域1、形如y=sin2x+bsinx+c型令sinx=t转化为二

4、次函数再求值域.例3、k<-4，求y=cos2x+k(cosx-1)的值域解：y=2cos2x-1+kcosx-ky=2cos2x+kcosx-k-1，设t=cosx，t∈[-1,1]则y=2t2+kt-k-1，对称轴x=－，由于k<-4，则－>1，故当t=1时，ymin=1，当t=－1时，ymax=1－2k，即y∈[1,1-2k]2、形如y=asinx·cosx+b（sinx±cosx）+c，换元令sinx±cosx=t转化为二次函数在上的值域问题例4、求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的值域解：令sinx+cosx=t，t∈，则sinxcosx=，y=

5、+t=(t+1)2-1当t=－1时，ymin=－1，当t=时，ymax=+，即y∈[-1，+]3、考察结构特征，用分离常数法求值域形如y=型，可用分离常数法转化为y=a+再求值域.例5、求函数y=的值域.解：y=∵-1≤cosx≤1且cosx≠，∴≤-或≥2，故y∈4、反函数思想求值域形如y=可用反函数思想转化为f(y)sin(x+φ)=g(y)求值域.例6、求y=的值域.解：由y=得2ysinx-3y=3cosx-22ysinx-3cosx=3y-2，·sin(x+φ)=3y-2sin(x+φ)=，由

6、sin(x+φ)

7、≤1得

8、

9、≤1,即y∈5、化为一元二次方程用判别

10、式求值域形如y=也可用判别式求值域例7、求函数y=的值域解：==，设t=tan则y=yt2-2t+3y=0，当y=0时，t=0适合，当y≠0时，由△=4-12y2≥0，故y∈[].6、根据代数函数的单调性求值域形如y=asint+，令sint=x，根据函数y=ax+的单调性求值域.例8、θ∈(0,π)，则函数y=sinθ+的值域为_________.分析：设x=sinθ，则x∈，即y=x+,x∈,由图象得，当x=1时，ymin=3，故y∈例2．求函数的值域.法一:，　　又∵－1≤sinx≤1，∴-3≤sinx－2≤－1,∴　　∴函数的值域为.法二:由解得，　　∵－1≤s

11、inx≤1,∴解得，　　∴函数的值域为。2，(全国高考试题)当时，函数的(　)　　A、最大值是l，最小值是－1B、最大值是l，最小值是－2　　C、最大值是2，最小值是－2D、最大值是2，最小值是－1　　解：。　，∴－1≤f(x)≤2，应选D。3，(上海高考试题)函数f(x)＝3sinx·cosx－4cos2x的最大值为______。　解：　　.　　评注：本题注重考查形如f(x)＝asinx+bcosx的最值：　　.（五）求三角函数的周期例3，已知函数，（1）求该函数的最小正周期；（2）求函数的最小值及相应的x的集合。〖变式训练〗1，(上海