必修四三角函数的图象与性质讲义.doc

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1、1.4—1.5三角函数的图象与性质一、正弦函数的图象与性质1、利用描点法作函数图象(列表、描点、连线)自变量––函数值注意:(1)由于sin(2k+)=sin,因此作正弦函数图象时,我们经常采用“五点法”:(0,0),(,1),(,0),(,-1),(2,0);再通过向左、右平移(每次2个单位),即可得正弦函数图象;(2)正弦函数自变量一般采用弧度制。二、余弦函数的图象1、余弦函数的图象:y=cosx=sin(x+)可将正弦函数y=sinx向左平移个单位得到。2、“五点作图法”:(0,1),(,0),(,-

2、1),(,0),(2,1)三、正、余弦函数的性质f(x)=sinxh(x)=cosxf(x)=sinxh(x)=cosx定义域RR值域[-1,1]当x=2k+时,f(x)max=1当x=2k-时,f(x)min=-1[-1,1]当x=2k时,f(x)max=1当x=2k+时,f(x)min=-1单调区间[2k-,2k+]单增[2k+,2k+]单减[2k,2k+]单减[2k+,2k+2]单增对称轴x=k+x=k对称中心(k,0)(k+,0)周期性sin(2k+)=sincos(2k+)=cos最小正周期为2奇

3、偶性sin(-)=-sin奇函数cos(-)=cos例1:求下列函数的定义域。(1)f(x)=(2)f(x)=变式练习1:求下列函数的定义域(1)f(x)=lg(sinx)(2)f(x)=(3)f(x)=变式练习2:已知cosx=-,且x∈[0,2],则角x等于(  )A:或B:或C:或D:或【解析】A变式练习3:当x∈时[0,2],满足sin(-x)≥-的x的取值范围是(  )A:[0,]B:[,2]C:[0,]∪[,2]D:[,]【解析】C例2:下列函数图象相同的是(  )A:y=sinx与y=sin(

4、x+)B:y=cosx与y=sin(-x)C:y=sinx与y=sin(-x)D:y=-sin(2+x)与y=sinx【解析】B变式练习1:y=1+sinx,x∈[0,2]的图象与直线y=2交点的个数是(  )                A:0B:1C:2D:3解析B变式练习2:函数y=sin(-x),x∈[0,2]的简图是(  )【解析】B变式练习3:.函数y=2sinx与函数y=x图象的交点________个。【解析】在同一坐标系中作出函数y=2sinx与y=x的图象可见有3个交点。3个变式练习4:

5、.若函数y=2cosx(0≤x≤2)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则这个封闭图形的面积为___________。【解析】:图形S1与S2,S3与S4是两个对称图形,有S1=S2,S3=S4,因此函数y=2cosx的图象与直线y=2所围成的图形面积可以转化为求矩形OABC的面积。因为

6、OA

7、=2,

8、OC

9、=2π,所以S矩形OABC=2×2π=4π.故所求封闭图形的面积为4π.四、正切函数的图象与性质【三点两线】定义域:x≠k+k∈Z值域:R周期性:最小正周期T=单调递增区间:(k-,k+)奇偶性:

10、tan(-x)=-tanx奇函数对称中心:(,0)例3:求函数f(x)=tan(2x-)的定义域,最小正周期、单调区间以及对称中心。例4:若直线过点M(2,2)且与以点P(-2,-3)、Q(1,0)为端点的线段恒相交,则直线的斜率的范围是_________。【解析】:≤k≤2变式练习:若直线过点M(0,2)且与以点P(-2,-3)、Q(1,0)为端点的线段恒相交,则直线的斜率的范围是_________。【解析】:k≤-2,k≥五、函数y=sin(x+)的图象与性质(一)由y=sinx的图象通过变换法作y=A

11、sin(x+)的图象1、先平移后伸缩:y=sinxy=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+)2、先伸缩后平移:y=sinxy=sinxy=sin[(x+)]y=Asin(x+)例5:把函数y=sin(2x+)的图象向右平移个单位,再把所得图象上各点的纵坐标缩短到原来的,则所得图象的函数解析式为()A:y=sin(4x+)B:y=sin(4x+)C:y=sin4xD:y=sin2x【解析】:D变式练习1:将函数y=sin(x+)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数

12、解析式是(  )A:y=cos2xB:y=sin(2x+)C:y=sin(x+)D:y=sin(x+)【解析】:选D变式练习2:已知函数f(x)=sin(x+)(>0)的最小正周期为,则函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x的图象(  )A:向左平移个单位长度B:向右平移个单位长度C:向左平移个单位长度D:向右平移个单位长度【解析】选A变式练习3:要得到函数y=2cos(2x-)的图象,只要将函数y=2cos

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