9。双曲线的简单几何性质复习讲义

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1、双曲线的简单几何性质复习讲义〖知识回顾〗一、双曲线定义第一定义：；第二定义：；二、双曲线的方程1，标准方程：；2，参数方程：。三、双曲线的几何性质方程xoyF2F1P1.－=1（a＞0，b＞0）2.－=1（a＞0，b＞0）图象基本参数范围

2、x

3、≥a;顶点A(±a,0),对称性关于X轴、Y轴、原点对称离心率范围①e→1时c→a,b→0→双曲线→开口小②e→0时c→0,b→a→双曲线→开口大e＞1焦点F1(－c,0)F2(c,0)准线、渐近线准线：；渐近线：焦半径①p(x0,y0)为双曲线右支上点，F1、F2为左右焦点则②p(x0,y0)为双曲线左支上点，F1、F2为左右焦点则“长加短减

4、”③

5、PF1

6、－

7、PF2

8、=2a④过焦点的弦AB长⑤通径（过焦点垂直于实轴的弦）。1、正确理解双曲线的定义一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a<

9、F1F2

10、，因为当2a=

11、F1F2

12、时，其轨迹是以F1和F2为端点的两条射线，而当2a>

13、F1F2

14、时，其轨迹不存在。2、准确把握双曲线的标准方程（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。（2）焦点在x轴上和焦点在y轴上的两种双曲线的异同：①相同点：形状、大小相同，都有a>0，b＞0，c=a+b；②不同点：

15、两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上标准方程中x项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上标准方程中y项的系数为正。3、对双曲线的几何性质的加强理解（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上。椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据；同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据，由于，当e从接近于1逐渐增大时，的值就从接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大。（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。因为y=±x±＝0－＝0，所以把标准方程－＝1（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。

16、（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：①渐近线方程为mx±ny＝0的双曲线的方程为：mx－ny＝（≠0且为常数）。②与双曲线－＝1（a>0，b＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为－＝（≠0且为常数）。（4）实轴与虚轴相等（即a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=±x，离心率e=。四、直线与双曲线的位置关系1，直线L方程与双曲线C方程联立消去y得关于x的一元二次方程则：（1）当时：①直线与双曲线相交有两个交点；②直线与双曲线相切有一个交点；③直线与双曲线相离没有交点（2）当时：消元所得的是一次方程，此时不能用判别式来处理。2，求弦长方法：①利用弦长公式；②若过焦点用焦半

17、径来求；3，弦的中点求法：一般把直线与双曲线方程联立再用韦达定理求：。五、共轭双曲线双曲线的共轭双曲线为。即为两共轭双曲线。（1）共轭双曲线有相同的渐近线；（2）共轭双曲线有相同的焦距（焦点不同），焦点在同一圆上；（3）共轭双曲线的离心率的平方的倒数和等于1。六、等轴双曲线双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑸共渐近线的双曲线系方程：如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.〖典型例题〗一、直线与双曲线【例1】，过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可作直线有：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，

18、合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.例1直线与双曲线的左支有且仅有一个公共点，则k的取值范围为________．解：由已知得其渐近线方程为，又直线必过点（0，1）．当时，直线与双曲线的左支没有公共点；当时，直线与双曲线的左支相交且仅有一个公共点；且直线与双曲线相切时仅有一个公共点，这时将直线代入双曲线，得，由，解得．又知只有时，直线与双曲线的左支相切

19、，综上可知，k的取值范围是．变式1．过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程.解：若直线的斜率不存在时，则，此时仅有一个交点，满足条件；若直线的斜率存在时，设直线的方程为则，，∴，，当时，方程无解，不满足条件；当时，方程有一解，满足条件；当时，令，化简得：无解，所以不满足条件；所以满足条件的直线有两条和.说明：（1）若过点呢？过点呢？（分别是四条直线和两条直线）（2）用图象去判断直线的条数，可以知道：和渐近线平行的直线与双曲线只有一个