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《总结梯形常用辅助线及对应例题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、帮你总结梯形中的辅助线常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】已知：如图2,在梯形ABCD中,.求证：.分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=
2、2CD.证明：过D作,交AB于E. ∵AB平行于CD,且, ∴四边形是菱形. ∴ 又 ∴为等边三角形. ∴ 又, ∴∴.【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若.AD=7,BC=15,求EF．分析：由条件,我们通过平移AB、DC；构造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中线． 解：过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵, ∴ ∴是直角三角形,∵,, ∴. ∵、分别是、的中点, ∴为的中点,∴.2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题
3、．【例3】.如图,在梯形中,,,梯形的面积与梯形的面积相等．求证：.分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点,∵,∴ ∴ . 同理, ∵ 故得 ∴此题仅做参考3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．【例4】.如图,在梯形中,.求证：.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分
4、别为E、F. ∵, ∴. 又, ∴≌.∴4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例5】.如图,等腰梯形中,,,且,是高,是中位线,求证：．分析：由梯形中位线性质得,欲证,只要证．过点作,交的延长线于,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．证明：过点作交的延长线于点,则四边形是平行四边形．∴,∵四边形是等腰梯形,∴,∴又∵,∴,∴, ∴.∵,∴又∵,∴.【例6】.已知：如图,在梯形中,.求证：梯形是等腰梯形.证明：过D作,交BA延长
5、线于E.则四边形是平行四边形.∴.∴又,∴于是,可得∴∴梯形ABCD是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系.或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．【例7】.已知：如图4,在梯形中,是的中点,且.求证：.证明：取的中点F,连结FE.则 ∵, ∴. ∴.【例8】.已知：梯形ABCD中ADBC,E为AB中点,且AD＋BC=DC, 求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．证法1：取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形
6、的中位线∴EF∥AD∥BCEF=(AD＋BC)∴∠1=∠5,∠3=∠6 ∵DC=AD＋BC ∴EF=DC=DF=CF ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∴∠2=∠5,∠4=∠6 ∴∠1＋∠3＋∠2＋∠4=180° ∴∠1＋∠3=90°∴DE⊥C,DE平分ADC,CE平分∠CD证法2：延长CE与DA延长线交于一点F,过程略．证法3：在DC上截取DF=AD,连结AF、BF、F解决.6.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已
7、知：如图5,在梯形ABCD中,M、N分别是BD、AC的中点.求证：. 证明：连结并延长,交于E.则. ∴ 又N是AC的中点, ∴, 故 取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形．【例10】.如图,梯形中,,、分别平分和,为中点,求证：．分析：要证明,可以利用为中点,延长与的延长线交于,,得到,再证明即可．证明：延长、交于点F,显然．∴,. 又∵, ,, ∴,∴ ∴是线段的垂直平分线． ∴,∴.评注：添加辅助线后,沟通了、与的联系,由线段垂直平分线性质得出,从而问题获得解决．利用一腰中点旋转【例11】
