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《总结梯形常用辅助线及对应例题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、帮你总结梯形中的辅助线1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．【例1】分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.证明：过D作,交AB于E.∵AB平行于CD,且,∴四边形是菱形.∴又∴为等边三角形.∴又, ∴∴.【例2】解：过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵, ∴∴是直角三角形,∵,,∴.∵、分别是、的中点,∴为的中点,∴.2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．【例3】分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系
2、,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．证明：延长、使它们相交于点∵,∴ ∴.同理, ∵故得∴3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．【例4】.分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.∵, ∴. 又,∴≌.∴4.平移一条对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．【例5】．分
3、析：由梯形中位线性质得,欲证,只要证．过点作,交的延长线于,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．证明：过点作交的延长线于点,则四边形是平行四边形．∴,∵四边形是等腰梯形,∴,∴又∵,∴,∴, ∴.∵,∴又∵,∴.【例6】.证明：过D作,交BA延长线于E.则四边形是平行四边形.∴.∴又,∴于是,可得∴∴梯形ABCD是等腰梯形.5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系.或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．【例7】证明：取的中点F,连结FE.则∵,∴. ∴.6.当遇
4、到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】证明：连结并延长,交于E.则.∴又N是AC的中点,∴, 故 取一腰的中点,连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形．【例10】分析：要证明,可以利用为中点,延长与的延长线交于,,得到,再证明即可．证明：延长、交于点F,显然．∴,.又∵,,, ∴,∴∴是线段的垂直平分线．∴,∴.评注：添加辅助线后,沟通了、与的联系,由线段垂直平分线性质得出,从而问题获得解决．利用一腰中点旋转【例1
5、1】证明：延长AE、BC相交于点F.易证∴,∵,∴即.∴BE是等腰底边上的高.∴.说明：在图5中,相当于由绕点E旋转得到；在图6中,是由绕点E旋转得到.【例12】.分析：与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了．梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰．证明：延长,使,延长,使；则,则四边形是平行四边形．为的中点,连结,与交于点.连结、,则. ∵,是中点,∴为中点且是中点． ∴四边形是平行四边形,∴,∴
