拉丁方与幻方的学习与研究

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1、14拉丁方与幻方的学习与研究石敦瑶2018，1。前一篇文章讲的是幻方与幻丁方，就是已知幻方如何把它的两个拉丁方找出来。现在反过来要用两个拉丁方排幻方。用幻方的两个拉丁方排幻方是很容易的事，前一篇文章已经讲过了，并且举了例子。这里讲的用拉丁方排幻方讲的是，如何用两个正交拉丁方排幻方。这是一种与前面讲的排幻方完全不同的方法。用它排出的幻方有的特性是用其它方法很难达到的。1如何用两个正交拉丁方排幻方网上有很多关于正交拉丁方的文章。还专门列有3～9阶正交拉丁方表。我想还是借用几个简单的正交拉丁表来说明什么是正交拉丁方。如何用两个正交拉丁方排幻方。（1）三阶正交拉丁方与幻方最简单的是三阶正交拉

2、丁方。三阶正交拉丁方有两个，如下表A，B所示A123231312B123312231由上表我们看出，三阶正交拉丁方是用1，2，3。三个数排成的。它的每一个数在每一行，每一列只出现一次，我们就叫它正交拉丁方。用两个正交拉丁方排幻方，这两个正交拉丁方的意义仍然是，正交拉丁方A作为被排幻方各个数在自然数方阵的行坐标，正交拉丁方B作为被排幻方各个数在自然数方阵中的列坐标。（反过来，你把B方作为幻方各个数的行坐标，把A方作幻方各个数的列坐标也是可以的）。现在我们用这两个正交拉丁方，把三阶幻方排出来。我们把A，B方配置在一起如图c所示C141411223323311232、13、21自然数方阵。

3、1231234567891—2—3—配置方阵的第一位是11我们就把自然数方阵中的第一行，第一列的1填进第一位。配置方阵的第二位22我们就把自然数方阵中的第二行，第二列的5填进第二位。配置方阵的第三位是33我们就把自然数方阵中的第三行第三列的9填进第三位。余仿此填完为止。最后得到的方阵D就是我们排成的幻方。D24159＝15672＝15834＝1515151512这个幻方是各行各列各个数的和都相等的一般幻方，它的两条对角线各个数的和不等于幻和。究其原因是，两个正交拉丁方它们都有一条对角线上的三个数不是不同的正交数而有重码。这里还要说明一点，上面这个正交表是人家排好的。叫我们用两个正交拉

4、丁方排三阶幻方，那是要用1，2，3。这3个数自己去排三阶正交拉丁方的。理论上已经证明除了二阶，六阶不存在正交拉丁方外，其余各阶正交拉丁方都存在。又说任何正交拉丁方都可以通过各阶方阵各个数位置的变更得到。（我们这个小文章只作一般的叙述，不作证明。）现在我们将上面两个正交拉丁方分析一下。首先我们介绍一下，正交拉丁方的起始行，上面两个正交拉丁方的起始行都是1，2，3。A1231414231312A方第二行，第三行都是用前一行第二位左移循环得到的。B123312231B方第二，第三行都是用前一行的末位左移到第一位循环得到的。起始行1，2，3可以任意组合，目标就是正交拉丁方。只要你能排出正交拉

5、丁方，你怎么组合都可以。（1）四阶正交拉丁方与幻方四阶正交拉丁方是用1，2，3，4。四个数排成的。我们先用排三阶正交拉丁方移位的方法看看行不行？起始行我们仍然用1，2，3，4。A方我们用前一行的第二位左移，其结果如下图A1234234134124123B方我们用前一行的末位左移，其结果如下图B12344123341214142341A，B和三阶两个正交拉丁方一样都是行，列正交拉丁方。，也只有两条对角线不是拉丁行。现在我们将A，B方配置在一起看看。第三，四行各个数的坐标与第一二行完全相同，因此只能排出两行各个数的和相等方阵，而排不出四阶幻方。原因就是，虽然两个行，列坐标都是正交拉丁方，

6、但两个正交拉丁方配置在一起有重码，两个拉丁方不正交。因此排不出幻方来。11223344243142133344112242132431由此我们可以得出如下的结论，用两个同阶的正交拉丁方排幻方，不仅要求两个拉丁方是正交拉丁方，而且还要求要两正交拉丁方配置在一起也正交。即同一行码与不同列码配置在一起，只有一次，不能有重码。能不能找到排偶数阶的两个正交拉丁方？肯定能找到。那就要用到两个正交拉丁方各个数位置的移动和交换相结合的方法来完成（包含两拉丁方的起始行）。下面我们看看四阶正交拉丁方表是如何排的。四阶正交拉丁方三个A，B，C。ABC1234341243212143123443212143

7、34121234214334124321我们看看它们有什么特点。三个拉丁方的起始行都是1，2，3，4。每个方阵的第二行的各个数，与前一行比较不单是有位置的移动而且有位置的互相交换。第三行，第四行也是这样。要找它们排出正交拉丁方的规律，确实是很难。用两个正交拉丁方排幻方难的不是排幻方本身，难的是是如何排出这两个正交拉丁方。1414现在我们看看A，B，C三个正交拉丁方各有什么特点。A方行，列各数是正交的，两对角线上的数是重码不正交。B方和C方都是全正交的，它的