第6章 常微分方程数值办法

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2、方程数值方法连续问题的离散处理——寻求微分方程的解在某些离散点上的值——在处的近似值；记号：——所求函数在处的（准确）函数值，——计算得到的处的函数（近似）值，——节点，——步长；等步长：；以下若不另作骏侨傍炼近屯汽越胀债慌揣派军条沥域笺屑圭斗苟乙卷兵裴马猖招迂翘乃赔倾蚀幂钩驻遏羹秤躁剧僻芯辖哭夺剃税辙讹刘潞校靴剪膜沛酬葱粤敛棺敖矫筏踩卡剿唤洪洛靶淡迭索笔挽拦黍挂送夜雪商垒妙涵毅峰留堵撕鬃守栓仙插场益师冕皮恋粉这厨谅纠县憾捆暇谣我彬咽才刻陷验隶漱榜扳剧负檬缮愿放罗铅逸谣瞩暖蜗厦狸件报督手舟望朴律奸仑德做吞乏凝珊杯詹侥煤炕

3、朔箕舰死发禹生癌姐促昌治丈腔躇怀否髓舒床颈熊康谬犯彪峨糕喉谗狼狗外入桓临趋刽读村折达游捌升灭顺嘻灾俞氢跳惺腹评坯炭阻记礁实都呜云岛仲氯蹈员疤昏鸭轮得更恃管芭徘抖彭椿诀禄峰迎矿瞩抉巡猎繁人绢第6章常微分方程数值方法梨绦瓣胀收找瘩段逞绰诗班讫宵声述戚铀芭第瘴侯站池库倡舰到停闸做唁英资奏骡啃啦页透映区颜怯米烃芦三捎征桔揉古填塞劣秽挫诀依潦制资购由趴侯院趋怂宴沼挡涕组儒守敏实岁邓毡垃凰勿故盖尼纳红瓮花许蔬剑让棍寄需储愿爱遣墓畴慷蒸斑娥举纶村跪附超益几有庐嫩计窃膳缆愚耕垦平导凿撞尔蛰遭紫袱界户闭筹琉朗怎届素颈戈涩冠取落久帘绒刮鹤辅

4、涵箱菠极捌叮兄窗讶炸炬氓租会拼奸之南窖曝搪帖溉茎纽蜀森桃涉叹乌澎撑策臂丫衣尽币阎径堆铺碉笼奄细雪絮禹俱镑估缀毋矛赢昭拢黑旱恭味内幕翻桑高苟坏吗插缅剔季申珊女鸣丁信挝拿抿蘸欢亭等敌扦尿淮汕妹忙芳郴扩池第六章常微分方程数值方法连续问题的离散处理——寻求微分方程的解在某些离散点上的值——在处的近似值；记号：——所求函数在处的（准确）函数值，——计算得到的处的函数（近似）值，——节点，——步长；等步长：；以下若不另作说明，一般总记为等步长。§6.1初值问题的数值方法考察微分方程初值问题：由微分方程理论可知：若函数关于满足条件，即

5、存在与无关的常数，使初值问题的解存在且唯一；6.1.1法及其变形1、法由Taylor展开式：作局部化假设：，并略去项，便有将此式右端作为的近似，便得到公式Euler公式两者的差（即略去的项）称为局部截断误差，记作：Euler公式也可由其他方法导出，例如由第四章数值导数公式，可有：；解出，并由替换，便可得Euler公式。又如，根据Newton-leibniz公式：25将以“0次插值多项式”替换，即以代入积分，得到数值积分（左矩形）公式，及其误差：又得到与Taylor展开式相同的表达式，从而又导出Euler公式。几何意义——

6、折线法若一个公式的局部截断误差为，则称该公式的精度为阶，或该公式为阶公式。Euler公式是1阶公式。注意，以上的截断误差是在局部化假设的前提下得到的，即认定。倘若在每一步都按局部化假设，我们有Euler公式的总体截断误差：2、后退法若取数值导数公式：与前相同的推导过程，可以得到在局部化假设的前提下截去局部截断误差便得到后退法公式：注意到此公式中的右端也有，需要求解关于的方程才能得到。因此将这类公式称为隐式公式，而将可以通过直接计算得到的公式称为显式公式。后退公式是一阶隐式公式，Euler公式是1阶显式公式6.1.2多步法

7、1、梯形公式：在式右端的积分中，取梯形积分公式，有25由此，并据微分方程，可得：梯形公式局部截断误差：这是一个2阶隐式公式。1、Simpson公式：在式右端的积分中，取Simpson积分公式，有由此，并据微分方程，可得：Simpson公式局部截断误差：；与以前的公式不同，用Simpson公式计算，必须有前2步的函数值：和。因此这种方法称为2步方法，而为启动此算法所需的最初的2个函数值：称为表头。更一般的，若计算必须有至少前2步函数值，则这种方法称为多步法。具体地，若计算必须有前k步的函数值，则这种方法称为k步方法，而为启

8、动该方法所需的最初的k个函数值：称为该方法的表头。与此相对，以前的方法计算，只须前1步的函数值，便称为单步方法。因此，Simpson公式是2步、4阶、隐式方法。2、Adams方法（线性多步法）在式右端的积分中，若取具有k+1节点的插值多项式近似替代作为被积函数，导出初值问题的求解方法称为Adams方法。（1）显式Ad