数值分析-课件-第08章常微分方程数值解法

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1、数值分析NumericalAnalysis机械与汽车工程学院主讲人：孔胜利kongsl@spu.edu.cn2012-09-01数值分析第8章常微分方程的数值解法Euler方法Runge-Kutta方法线性多步法边值问题的数值解法数值分析常微分方程的数值解法工程实际问题的解决往往需要求解常微分方程的定解问题。对于初值问题若函数f(x,y)满足1）在矩形区域D内连续；2）在区域D内对y满足Lipschitz条件，即存在常数L。对于D中的任意x和y的两个值y1和y2，有则此初值问题存在唯一的解y=y

2、(x)，且满足初值条件。解析方法只能求解一些特殊类型的方程，而应用问题中碰到的方程主要靠数值解法。数值分析常微分方程的数值解法所谓数值解法，就是寻求y(x)在一系列离散节点上的近似值y1，y2,…yn,yn+1,…。相邻两个节点的间距称为步长。初值问题的数值解法有个基本特点，就是都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出用已知信息yn，yn-1,yn-2,…,计算yn+1的递推公式。数值分析8.1Euler方法1、Euler公式的构造法用差商代替微商

3、（导数）用向前差商代替微商得或我们用y(xn)的近似值即解在xn点的数值解yn代入上式，算出来的y(xn+1)的近似解yn+1，即得称为Euler公式。由于y(x0)=y0已知，代入上式依次计算，可算成各离散点上的数值解。数值分析Euler方法Euler公式的构造法后退的Euler公式用向后差商代替微商得称为后退的Euler公式。梯形公式用中心差商代替微商得称为梯形公式。数值分析8.1Euler方法2、数值积分法将y(xn)微分方程改写成积分的形式，并在[xn,xn+1]上积分，得用左矩形公式计

4、算右端的积分，得从而若用右矩形公式计算积分，可得后退的Euler公式；若用梯形公式计算积分，可得梯形公式。数值分析8.1Euler方法3、Taylor展开法将y(xn+1)在xn点展开，得略去O(h2)，得从而为Euler公式。数值分析8.1Euler方法若将y(xn)在xn+1点展开，得略去O(h2)，得从而为后退的Euler公式。结合Euler公式和后退的Euler公式即可得梯形公式。数值分析例题用Euler法解初值问题取步长，计算到x=0.3（保留到小数点后4位）。解：因，故由Euler公

5、式得得到各节点处的数值解列表如下0.00.10.20.30.00000.00100.00500.0143数值分析几个基本概念1、单步法和多步法2、显式与隐式3、自开始的与不是自开始的单步法是自开始的，多步法不是自开始的4、截断误差局部截断误差和整体截断误差数值分析问题的提出在构造数值积分时，由，围绕着如何用函数值表示出的近似值得出各种求积公式。的近似值可以用若干点处之值的加权平均值来表示，用的点数越多代数精度越高。二阶公式三阶公式8.2Runge-Kutta方法数值分析四阶公式经典R-K公式数值

6、分析例题用经典R-K公式求解解由于，故求解公式为具体计算过程为即数值分析同理，由可得以此类推，计算结果如下表0.20.40.60.81.01.18321.34171.48331.61231.7321数值分析8.3线性多步法线性多步法的基本概念求时只用到前一步的值，即为单步法；事实上，在求时，前面各点的数值解均已经求出来。如果充分利用这些现有的结果，便可获得较高精度的公式，即我们构造形为的数值公式，式中，为与微分方程无关的待定参数，即线性多步法。线性多步法的主要构造方法：数值积分法和Taylor展

7、开法数值分析以二阶微分方程为例讨论两点边值问题的数值解，主要有试射法和差分法。8.4边值问题的数值解法边界条件有3类：第一边值条件：端点的函数值给定，即第二边值条件：端点的倒数值给定，即第三边值条件：端点处函数与倒数值的线性组合给定，即式中，数值分析例如边值问题有无数个解y=csinx,c为任意常数。解的存在唯一性一般来说，边值问题可能无解，可能唯一解，也可能有无数个解。无解有唯一解数值分析二阶方程两点第一边值问题的一般形式为其几何意义表示在方向场中要求出一条经过两点的积分曲线。定理1设在中（*

8、）式中的函数f是连续的，且对有连续偏导数并满足若或则边值问题（*）存在唯一的解。数值分析作为二阶方程两点第一边值问题的一般形式的特殊形式，对二阶线性方程的第一边值问题由常微分方程的一般理论知：只要便能保证该边值问题（3）解的存在唯一性。数值分析对于（3）可化为求解两个初值问题定理2设函数分别为(4),(5)的解，且则(3)的解为证明过程见课本P368.数值分析试射法对于二阶方程两点第一边值问题的一般形式如果将边值条件改成初值条件k为待定系数，便可求出一条过点的切线斜率为k的积分曲线。关键在于这条