数值分析 第9章 常微分方程数值解法.ppt

《数值分析 第9章 常微分方程数值解法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

1、第9章常微分方程初值问题数值解法/*NumericalMethodforOrdinaryDifferentialEquations*/9.1引言9.2简单的数值方法9.3龙格-库塔方法9.4单步法的收敛性与稳定性9.5线性多步法9.6线性多步法的收敛性与稳定性9.7一阶方程组与刚性方程19.1引言待求解的问题（1.1）（1.2）（1.3）即存在实数，使得称为的利普希茨常数（简称Lips.常数）.解的存在唯一性定理1设在区域上连续，关于满足利普希茨条件，/*Initial-ValueProblem*/:则对任意，常微分方程(1.1),(1.2)式当时存在唯一的连

2、续可微解.一阶常微分方程初值问题2解对扰动的敏感性结论定理2设在区域（如定理1所定义）上连续，且关于满足利普希茨条件，设初值问题的解为，则这个定理表明解对初值的敏感性，它与右端函数有关，当的Lips.常数比较小时，解对初值和右端函数相对不敏感，可视为好条件.若较大则可认为坏条件，即为病态问题.3如果右端函数可导，由中值定理有若假定在域内有界，设，则它表明满足利普希茨条件，且的大小反映了右端函数关于变化的快慢，刻画了初值问题(1.1)和(1.2)式是否是好条件.4解析解法:如何求解计算解函数y(x)在一系列节点a=x0

3、通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。求解所有的常微分方程步进式：根据已知的或已求出的节点上的函数值计算当前节点上的函数值，一步一步向前推进。因此只需建立由已知的或已求出的节点上的函数值求当前节点函数值的递推公式即可。常数变易法、Lapalace变换等分离变量法、变量代换、数值解法:567一类是计算时只用到前一点的值，称为单步法.另一类是用到前面点的值，称为步法.其次:要研究公式的局部截断误差和阶，数值解与精确解的误差估计及收敛性，还有递推公式的计算稳定性等问题.首先:对方程离散化，建立求数值解的递推公式.8欧拉（Euler）方法是解初值问题的最简单的数值方法

4、。9.2简单的数值方法9.2.1欧拉法与后退欧拉法初值问题的解y=y(x)代表通过点的一条称之为微分方程的积分曲线。积分曲线上每一点的切线的斜率等于函数在这点的值。导数用均差近似，即Euler方法的导出1然后用代替，即得（2.1）9从初始点P0(即点(x0,y0))出发,作积分曲线y=y(x)在P0点上切线(其斜率为),若初值已知，则依公式可逐步算出(即点(x1,y1),得到y1作为y(x1)的近似值,如上图所示。过点(x0,y0),以f(x0,y0)为斜率的切线方程为获得了P1点的坐标。当时,得Euler法的求解过程与x=x1直线相交于P1点10同样,过点P

5、1(x1,y1),作当时,得由此获得了P2的坐标。重复以上过程,就可获得一系列的点:P1,P1,…,Pn。对已求得点，以=为斜率作直线当时,得取获得了一条近似于曲线y=y(x)的折线这样,从x0逐个算出对应的数值解交直线x=x2于P2点,斜率=11例1用欧拉公式求解初值问题（2.2）欧拉公式为取步长，计算结果见表9-1.解欧拉方法的精度很差12误差的几何直观假设，即顶点落在积分曲线上，那么，按欧拉方法做出的折线便是过点的切线（图9-2）.图9-2将在处展开，则有Euler法的误差分析在的前提下，误差（2.3）显然，这种近似有一定误差，而且步长越大，误差越大，如

6、何估计这种误差y(xn+1)yn+1？在假设yn=y(xn)，即第n步计算是精确的前提下，考虑公式或方法本身带来的误差:Rn+1=y(xn+1)yn+1,称为局部截断误差/*localtruncationerror*/。13截断误差:实际上，y(xn)yn，yn也有误差，它对yn+1的误差也有影响，见下图。但这里不考虑此误差的影响，仅考虑方法或公式本身带来的误差，因此称为方法误差或截断误差。局部截断误差的分析：由于假设yn=y(xn)，即yn准确，因此分析局部截断误差时将y(xn+1)和yn+1都用点xn上的信息来表示，工具：Taylor展开。欧拉法的局

7、部截断误差：Tn+1的主项/*leadingterm*/定义若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p阶精度。欧拉法具有1阶精度。14（2.4）对方程从到积分，得左矩形公式近似再以代替代替也得到欧拉法后退的Euler法如果在（2.4）中右端积分用右矩形公式（2.5）近似，Euler方法的导出2显式隐式15逐步显示化隐式公式不能直接求解，一般需要用Euler显式公式得到初值，然后用Euler隐式公式迭代求解。因此隐式公式较显式公式计算复杂，但稳定性好（后面分析）。（2.6）迭代的收敛性由于对满足利普希茨条件由此可知，只要迭代法(2.6)就收敛到解

8、.迭代公式两端取极限即得