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1、第2课时 共面向量定理 教学过程一、问题情境问题1 在平面向量中,向量b与向量a(a≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关系呢?问题2 观察长方体,你能发现空间向量之间有什么关系?[1]二、数学建构如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,而,,在同一平面内,此时,我们称,,是共面向量.(图1) 1.共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.问题3 你能从长方体中尝试找出几组共面向量?[2]问题4 向量=+,向量=+,那么向量与向量,共面吗?若=x+y(x,y∈R
2、),你能得到什么结论?[3]2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb.证明 (必要性)向量a,b不共线,当向量p与向量a,b共面时,它们可以平移到同一个平面内,根据平面向量的基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.(充分性)对于空间的三个向量p,a,b,其中a,b不共线.如果存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb,那么在空间任意取一点M,作=a,=b,=xa,过点A'作=yb(如图),则=+=xa+yb=p,于是点P在平面MAB内,从而,,共面,即向量p与向量a,b共
3、面.(图2) 与平面向量一样,p=xa+yb,这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示.三、数学运用【例1】 已知向量,分别在两条异面直线上,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面.(见学生用书P51)[处理建议] 根据共面向量定理,只需证明存在实数x,y,使得=x+y.[规范板书] 证明 =++,=++,两式相加得2=+++++.又∵+=0,+=0,∴2=+,即=+,∴,,共面.[题后反思] 证明向量共面问题,只需找出向量之间的线性表示关系,即符合共面向量定理.【例2】 (教材第85页例2)设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量
4、关系=x+y+z(其中x+y+z=1),试问:P,A,B,C四点是否共面?(见学生用书P52)[处理建议] 通过分析,将判断P,A,B,C四点是否共面转化为空间向量是否共面.即要判断P,A,B,C四点是否共面,可考察三个共起点的向量,,是否共面.[规范板书] 解 由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-z-y,则=(1-z-y)+y+z=+y(-)+z(-),所以-=y(-)+z(-),即=y+z.由A,B,C三点不共线,可知和不共线,所以,,共面且具有公共起点A,从而P,A,B,C四点共面.变式 如果将x+y+z=1整体代入,由(x+y+z)=x+y+z出发,你能得到
5、什么结论?[规范板书] 解 将x+y+z=1整体代入,得x+y+z=0,则P,A,B,C四点共面.[题后反思] (1)联系平面向量,对于空间中任意一点O,满足向量关系=x+y(其中x+y=1)的三点P,A,B是否共线类比联想到空间四点共面的判断方法.(2)通过确定的数量关系来研究几何位置关系,体现了数形结合的思想.【例3】 如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC.(见学生用书P52)(例3) [处理建议] 本题要证PB∥平面AEC,可转化为证明向量与平面AEC内某一向量平行或两个不共线向量共面,且PB不在平面AEC内.[规范板书]
6、证法一 连结BD,交AC于点O,再连结EO.∵底面ABCD是菱形,∴O是BD的中点.又∵E是PD的中点,∴OE是△DBP的中位线,∴∥.又∵PB⊄平面AEC,EO⊂平面AEC,∴PB∥平面AEC.证法二 ∵底面ABCD是菱形,∴=.又∵E是PD的中点,∴=2,∴=++=2++=(+)+(+)=+.又与不共线,∴,,共面.而PB⊄平面AEC,∴PB∥平面AEC.[题后反思] 可以通过添加辅助线(证法一),用综合法证明;也可以用向量的方法进行证明(证法二).通过比较这两种方法,让学生感知用空间向量的知识来求解立体几何问题,逐步认识空间向量的解题功能.四、课堂练习1.若点P与不共线
7、的三点A,B,C共面,且对于空间任意一点O,都有=+2+λ,则λ=-.2.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.证明 因为+=5(e1+e2),所以=(+),所以,,共面且共起点,即A,B,C,D四点共面.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,A1D1的中点,问:,与是否共面?解 =++=-+=(+)-=-.又,不共线,根据共面向量定理可知向量,,是共面向量.五、课堂小结1.本节课的主要学习内容是向量
