《共面向量定理》word版

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1、3.1.2　共面向量定理课时目标　1.理解共面向量的定义.2.掌握共面向量定理，并能熟练应用．1．共面向量的定义：一般地，能________________的向量叫做共面向量．2．共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p＝__________.3．共面向量定理的应用：(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面．(2)空间中四点共面的条件空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得＝x

2、＋y，①此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，，实质就是面MAB内平面向量的一组基底．另外有＝＋x＋y，②或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)．③①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．一、填空题1．下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号)①平面内的任意两个向量都共线；②空间的任意三个向量都不共面；③空间的任意两个向量都共面；④空间的任意三个向量都共面．2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的有________．(写出所有正确的序号)①＋＝；

3、②－＝；③＝；④

4、

5、＝

6、

7、.3．在下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是________．(写出所有符合要求的序号)①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.4．已知向量a与b不共线，则“a，b，c共面”是“存在两个非零常数λ，μ使c＝λa＋μb”的____________条件．5．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有＝2＋＋λ，则λ＝________.6．三个向量xa－yb，yb－zc，zc－xa的关系是________．(填“共面”“不共面”“无法确定是否共

8、面”)．7.在ABCD中，＝a，＝b，＝2，M为BC的中点，则＝____________(用a、b表示)．8.在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．二、解答题9．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M、N、P、Q四点共面．10.如图所示，平行六面体A1B1C1D1-ABCD，M分成的比为，N分成的比为2，设＝a，＝b，＝c，试

9、用a、b、c表示.能力提升11.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝__________(用a，b，c表示)．12．已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面．(1)＋＝3－；(2)＝4－－.向量共面的充要条件的理解1.空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在实数对（x,y），使＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个

10、充要条件常用以证明四点共面．2．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．3．1.2　共面向量定理知识梳理1．平移到同一平面内2．xa＋yb作业设计1．③2．③解析　由

11、＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．3．③解析　若有＝x＋y，则M与点A、B、C共面，或者＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1，则M与点A、B、C共面，①、②、④不满足x＋y＋z＝1，③满足＝x＋y，故③正确．4．必要不充分解析　验证充分性时，当a，b，c共面且a∥c(或b∥c)时不能成立，不能使λ，μ都非零．5．－2解析　P与不共线三点A，B，C共面，且＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．6．共面解析　因xa－yb，yb－zc，zc－xa也是三个向量，

12、且有zc－xa＝－(yb－zc)－(xa－yb)，所以三向量共面．7．－a＋b解析　＝＋＝b＋＝b＋(＋)＝b＋(－b－a)＝－a＋b.8.a＋b＋c9．证明　依题意有＝2，＝2.又∵＝＋＋＝＋＋＝(＋＋)＋＋＝(＋)，(*)A，B，C及A1，B1，C1分别共线，∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.代入(*)式得＝(2λ＋2ω)＝λ＋ω，∴，，共面．∴M、N、P、Q四点共面．10．解　＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＝－(a＋b)＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.11．－a＋b＋c解析　＝＋＝＋＝c＋(