共面向量定理

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1、3．1.2共面向量定理课前自主学案温故夯基1．平面上有____和____的量叫做向量，方向____且模____的向量称为相等向量．2．向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足____律和____律．大小方向相同相等交换结合a∥α共面向量c＝xa＋yb知新益能空间的两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)?提示：不能推出a＝λb，因空间中任意两向量都共面，a，b共面未必有a∥b，则不一定有a＝λb.问题探究课堂互动讲练考点突破考点一证明三个向量共面证明三个向量共面，只需利用共面向量定理即可．例1【名师点评】如果两个向量a、b不共线，则向量p与向

2、量a、b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.在判断空间的三个向量共面时，注意“两个向量a、b不共线”的要求．利用共面向量的推论是证明四点共面的依据．考点二证明四点共面例2【名师点评】要证四点共面，可先作出从同一点出发的三个向量，由向量共面推知点共面，应注意待定系数法的应用．证明线面平行，其实质还是证明三向量共面．考点三证明线面平行(本题满分14分)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点．求证：EF∥平面SAD.例3【名师点评】向量共面的条件是证明线面平行的一种重要、

3、常用的方法，其基本方法是将直线与平面平行问题转化为直线上的向量与平面内两个不共线向量共面的问题，同时要说明该直线不在平面内．1．空间中任意两个向量共面，三个向量可能共面，也可能不共面，共面向量定理给出了三个向量共面的充要条件.2．共面向量定理给出了判断线面平行的方法，以及判定四点共面的方法．方法感悟3．判断直线与平面平行，通常利用判定定理，证明平面外一条直线平行于平面内一条直线，证明过程中线线平行有时需通过添加辅助线得到，因此方法不好用．而用共面向量定理来证明线面平行，只需考虑一个向量用平面内两不共线向量来表示，可以避免添加辅助线，从而把不易掌握的证

4、明问题转化为向量的计算问题．4．判断四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，而得到向量共面，进而得到四点共面．3．1.3空间向量基本定理课前自主学案温故夯基1．平面向量基本定理：如果两个向量a、b不共线，那么对平面内任一向量p，存在_____的有序实数对(x，y)，使p＝_______.2．平面内的任意一个向量p都可以用_____________________来表示(平面向量基本定理)．惟一xa＋yb两个不共线的向量a，b1．空间向量基本定理：如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的

5、___________________，使p＝xe1＋ye2＋ze3.2．如果三个向量e1、e2、e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1、e2、e3____表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个____，e1、e2、e3叫做______．知新益能有序实数组(x，y，z)线性基底基向量正交基底惟一空间的基底是惟一的吗？提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面的向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一．问题探究课堂互动讲练考点突破考点一基底的概念构成空间一个基底的充要条件是三个向量不共面．因此要证明三个向量不共

6、面，通常用反证法．例1【名师点评】判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或借助一些常见的几何图形帮助我们进行判断．自我挑战1若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．∴a＋b，b＋c，c＋a不共面．∴{a＋b，b＋c，c＋a}可以作为空间的一个基底．利用数形结合的思想方法，将需要表示的向量用与其相关联的其他向量表示，充分利用三角形法则或平行四边形法则，直至转化为只用基向量表示．考点二利用基底表示其他向量例2【名师点评】选定空间不共面的三个

7、向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功．要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量，再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止．这就是向量的分解．空间向量分解定理表明，用空间三个不共面的向量组{a，b，c}可以表示出任意一个向量，而且a，b，c的系数是惟一的．1．空间向量基本定理指明：(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底；(2)基底中的三个向量e1、e2、e3都不是0；(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，一个

8、基向量是指基底中的某个向量；(4)空间任一向量可用空间不共面的三个向量惟一线性表示．方法感悟2．单位正交基底