具逐段常变量中立型微分方程的渐近稳定性

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1、具逐段常变量中立型微分方程的渐近稳定性第36卷第4期2005年7月太原理工大学JOURNAIOFTAIYUANUNIVERSITYOFTECHNOIOGYVol_36NO.4July2005文章编号:10079432(2005)040498—04具逐段常变量中立型微分方程的渐近稳定性王幼斌(温州师范学院数学系,浙江温州325000)摘要:得到了具逐段常变量中立型微分方程的零解渐近稳定的充分必要条件.并改进了以前的一些结论.关键词:中立型泛函微分方程;渐近稳定性;逐段常变量中图分类号:0175.1文献标识码:A考虑具逐段常值变量中立型微分方程(

2、Y(f)+PY(t+2/3))一qY(Et+2/3).(1)其中P,q是非零实常数,[?]是最大取整函数.关于带有逐段常值变量的泛函微分方程的渐近稳定性,已有很多学者讨论过,如Yong],K.Gop—alsamy等.本文作者在他们工作的基础上,用矩阵的方法,试图得出一些新的结果.1基本定义定义1函数(f)被称为是方程(1)的一个解,如果它满足1)(f)在[一2/3,cx3]上连续;2)导数Y(f)在tEEm一2/3,],f≠一2/3,"一m,+1,m+2,…存在;在t=一2/3处存在单边导数,一m,+1,…;3)(f)在tE[一2/3,+1/

3、3]时,满足方程(1),n=Ⅲ,Ⅲ+1,…(其中Ⅲ∈z,z为全体整数).如果给定一个初始函数y2(f)ECEm一2/3,mlnC,[一2/3,ml,则方程(1)一定存在唯一解,设为(t;m,Y).记lJYlJ—maxJY(f)』.定义2如果V￡>O,m∈Z都存在3(s,m),使当llYll<(￡,m)时,lY(t;,Y)l<￡,t≥m一2/3,则称方程(1)的零解稳定;如果上面的与m无关,则称方程(1)的零解是一致稳定的.定义3如果VEZ,]77(,,z)>0,使对所有的Y当IIYII<77(m)时,Y(t;m,

4、Y)一0(t一+∞),则称方程(1)的零解是吸引的;如果对任意的,都有y(t~m,Y)一0,则称方程(1)的零解是全局吸引的.定义4如果方程(1)的零解既稳定又吸引,则称方程(1)的零解是渐近稳定的;如果方程(1)的零解既稳定又全局吸引,则称方程(1)的零解是全局渐近稳定的.设(f)是过(m,Y)的唯一解,则显然(t)一(f+)仍是方程(1)的一个解,此时Y(t)的存在区间是[一2/3,cx3],且Y(t)过t0,Y.].因而对于方程(1)的讨论,只需考虑m一0的情形.2定理及其证明设给定一个初始函数Y.(t)∈c[一2/3,olnC[一2/

5、3,01,则方程(1)存在唯一解Y(t),tE[一2/3,+1/3).此时Y(f)一Yo(t),～2/3≤t≤0.(2)当tE[一2/3,+1/3)时,对方程(1)两边从到t积分得:Y(f)+Py(t+2/3)一(q(t一)+1)Y()+Py(+2/3).(3)令f一+,/3,一一2,一1,1,则得:收稿日期:200408—30基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071045);浙江省中青年学科带头人资助项目作者简介:王幼斌(196O～),男,河北元氏县人,教授,主要从事常微分方程研究,(Te1)0577--88353003,(E—mai

6、l)WMATH@163.com第4期王幼斌:具逐段常变量中立型微分方程的渐近稳定性499y(n+i/3)+Py((7l+i/3)+2/3)一(/s+1)()+Py(+2Is).(4)解方程组(4)得:c1一Ac,一0,1,2,….(5)其中C一((一2/3),(一1/3),()).A==一11+qP3Pp1.1一+2qP3PppL11一吉+詈一毒情形1设lal一1(1+号)≠0,即q≠～3.显然当给定初始条件C.时,方程(5)的解存在且唯一.事实上,此时C一ACo.(6)方程(5)对应的特征方程为l腼一Al一0.(7)因}Al≠0,所以一0不

7、是方程(7)的根.设A的特征值对应的特征向量为.令C一,=0,1,2,….因为Ac,一A()一()一?——c1.故C一,"一0,1,2,…是方程(5)的一个非零解.引理1方程(5)的零解渐近稳定的充分必要条件是1<1.是方程(7)的根,i一1,2,3.证明由着名的Jordan矩阵理论知,A一0(一cD),当且仅当1<1,i一1,2,3,但方程(5)任意给定的初始条件C.的解为C一A"C.,从而C一0当且仅当f<1,i一1,2,3.另外,当j<1,i一1,2,3时,有A一0,故]M>0,使l『All≤M,一0,1,

8、2,…?从而V￡>0取一min(￡,),则当l『c.ll<时,ll≤llAl1.l『<'M—e?即方程(5)的零解是稳定的.证毕.令_厂()一};