半线性中立型分数阶微分方程S-渐近ω周期解-论文.pdf

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1、数学物理学报http：／／actams．wipm．ac．cn半线性中立型分数阶微分方程s一渐近周期解舒小保(湖南大学数学与计量经济学院长沙410082)戴斌祥(中南大学数学与计算科学学院长沙410075)摘要：在Banach空间x中，研究了如下半线性Caputo一分数阶中立型微分方程S一渐近周期解的存在性ID((t)+F(￡，t))+Ax(t)=G(￡，t)，t0，≮Ix(o)：∈B，其中0<<1，～A是解析半群{(t))t0的无穷小生成元．关键词：分数阶微分方程；柯西问题；mild解；解析半群；中立型分数阶微分方程．

2、MR(2000)主题分类：35RII；34K37中图分类号：O175文献标识码：A文章编号：1003—3998(2014)01—16—111引言周期解在科学，工程，物理，经济等领域的广泛应用，也促进了数学理论的发展，例如周期解的研究已广泛应用于泛函方程、积分方程和偏微分方程．不同于常微分方程、偏微分方程和泛函微分方程，分数阶微分方程周期解的研究非常困难．然而概周期、渐近概周期、概白守的、渐近概自守的和伪概周期解已成为分数阶微分方程定性理论研究的热门课题(参见文献【1-8，17～26])．在文献『1]中，作者研究了在Ba

3、nach空间的一些发展方程的渐近周期解，获得了下面无穷时滞半线性积分方程的加权伪概周期mild解的存在唯一解的充分条件)=一s)(s)+，(s，(s))]ds，∈R．(1．1))=一s)AD(s．扎)ds+F。，(1．2)I0：∈B．收稿日期：2012—03—17；修订日期：2013—08．25E—mail：sxb022l@163．tom基金项目：国家自然基金(11271115)和教育部博士点基金(200805321017)资助o．1舒小保等：半线性中立型分数阶微分方程s一渐近周期解17存在唯一的渐近一周期mild解的

4、充分条件．基于前面文章的启发，这篇文章研究了如下一类半线性中立型分数阶微分方程的S渐近u一周期解。(@)+F@，))+4@)=G@，，(1(．3)0)=∈B{这里D是指Caputo型阶微分，0<1，一A是解析半群{())垃。的无穷小生成元．本文中，我们首先通过Laplace变换给出系统(1．3)古典解的表达式，然后根据表达式给出系统(1．3)的mild解的定义，因此，此mild解的定义是合理的．最后，得出了系统(1．3)存在唯一s一渐近mild一周期解的充分条件．2基本知识2．1定义与引理本文用([0，Co)，X)记从

5、[0，。。)到Banach空间的连续有界泛函的集合并赋予一致收敛范数lJ．JI。。．下面我们回忆有关s一渐近一周期解的知识．定义2．1函数f∈Cb([0，Co)，X)被称作s渐近周期的，如果存在u>0使得．1im(t厂(￡+)一，(￡))=0．这时我们称是，一个渐近周期，并且．厂称为是s一渐近u一周期的(简记为，∈SA(X))．定义2．2一个连续函数f：[0，∞)×X—若在中的任意子集，有<，(t，X)：t0，E)为有界的并且．1im(S(t，)一，(+，))=0在∈K是一致的．则称此，在有界集上一致s．渐近一周期的．

6、定义2．3一个连续函数f：[0，。。)×X—若对E>0和每一个中的子集，存在常数L，K0和，K0使得对所有的t≥L，K和所有的X，Y∈K并且lIx—vl1以，K时，有}If(t，)一f(t，y)lle．则称此．厂为是有界集上渐近一致连续的．引理2．1[】令f：f0，。。)×X—是有界集上一致s．渐近．周期的并且是渐近一致连续的，令u：[0，。。)一是s一渐近一周期函数．则函数u()=S(t，())是s一渐近一周期的．定义2．4设a，∈R，函数f：[a，。。)一在空间，上，若存在一个实数P>和一个函数g∈C(【0，Co)

7、，X)使得，()=tPg(t)．对所有正Tn如果，()∈ca㈣则，被称为属于空间．定义2．5【12]如果函数fE，m∈N+，．厂的Caputo型>0阶分数阶微分定义为。，()=l_(一s)一a，(m)(s)ds，m-l0，∈R使得A的预集解在扇形+={+：A∈c，Iarg(一)I<)之外且满足『I(一lIl，+我们称是一个(M，，)型扇形算子．18数学物理学报VlO1．34A令一是Banach空间解析半群的无穷小生成元并且0∈

8、(A)，p(A)是集上的预解集．定义分数阶指数幂A—a为=㈤喇㈨>。在0