数分选讲讲稿第7讲new

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1、讲授内容备注第七讲例3证明：在区间上一致连续的充要条件是：对上任意二数列，，只要，就有．证　必要性　设在上一致连续，当，且时，有．因为　，所以对上述，，当时，有，则有　　　　　　．所以　　　　　．　　充分性　（反证法）若在上非一致连续，则　　，，虽然，但．这里　，但　矛盾．所设错误．在区间上一致连续．定义　若数列满足Cauchy条件：，，当时，有则称数列为Cauchy数列，又称基本列数列、自收敛数列．例4设为有限区间，在上有定义．试证：在上一致连续的充要条件是：把Cauchy数列映射为Cauchy3

2、学时9数列．（即当为Cauchy数列时，为Cauchy数列）　　证　必要性　设在上一致连续，则　　，当，时，有．设为Cauchy数列，对上述，，当时，有　，于是有　　　　　　．即为Cauchy数列．　　充分性　（反证法）设设在上非一致连续，则　　，，虽然，但．注意到为有限区间，，则有界．必存在收敛的子数列．因为，所以中相应的子数列也收敛到相同的极限．所以数列亦收敛，为Cauchy数列．但其像数列恒有　　　　　　　　　．不是Cauchy数列，与已知条件矛盾．所以在上一致连续．　注　的有限性，只在充分性

3、用到．对于无穷区间，必要性仍成立．例5用一致连续定义证明：若函数在9上都一致连续，则函数在上一致连续．证　已知函数在上一致连续，则　　，当，时，有．　　　　　，当，时，有．　　取，当时(1)若或，当时，有.(2)若，，当时，亦有，．于是，对，，当时，有．即在上一致连续．　　二、用连续模数描述一致连续性　　定义　若函数在区间上有定义，则称为函数在区间上的连续模数．可见　　1o　；　　2o　是关于的不减函数．　9例6若函数在区间上有定义，则在上一致连续的充要条件是：．　　证必要性　设在上一致连续，则　　

4、，当，时，有．从而　　　　．故当时，．即　．充分性由知，，当时，．故当，时，有即在上一致连续．　注　由此可得一致连续的观察法．因为的值只与的图像最陡的地方有关．若的图像在某处无限变陡，使得，则非一致连续．若的图像在某处虽陡，但时，此处的变差，则一致连续．　　如　，，在处，图像无限变陡，．所以在任何区间上都是非一致连续的．但在区间上，在点处最陡，且．所以在上9一致连续．　　三、一致连续与连续的关系函数在区间上一致连续，则函数在该区间上连续．反之，不一定成立．若为有限闭区间，据一致连续性定理，在上连续等

5、价于在上一致连续．所以只需讨论开区间以及无穷区间上情况．例7　设在有限开区间连续．试证：在内一致连续的充要条件是：极限及存在（有限值）．证　必要性　已知，当，时，有．　故，当时（必有），有　　．据函数极限存在的Cauchy准则，知存在（有限值）．同理可证，存在（有限值）．充分性因为及存在，补充，则在内连续，在端点处单侧连续，所以在上连续．由一致连续性定理，在上一致连续，从而在内一致连续．　注　(1)此例表明，在有限开区间内连续函数是否一致连续，取决于函数在端点附近的状态．应用本例容易判明9　　在内一

6、致连续．（在内非一致连续，在内一致连续，而乘积在内一致连续）．　，，在内非一致连续．　　(2)　由此例还表明，在内一致连续，则在内有界．然而，在开区间内连续、有界的函数，不一定一致连续．如　．　　(3)　当改为无穷区间时，该例的必要性不再成立．　　如，在上一致连续．但在端点无极限．对于无穷区间，充分性仍是成立的．如下例例8　证明：若在上连续，（有限值）．则在上一致连续．证　1o因为，由Cauchy准则，当时，有.2o由一致连续性定理在上一致连续．对上述，当，时，有．3o令，当，时，要么同属于，要么同

7、属于由1o、2o　知，有．即，在上一致连续．9注(1)由极限存在的几何意义，说明当时，的图像趋于水平状态，其连续模数必趋于0．从而一致连续．(2)如下证明是错误的：首先利用以上证明的1o，的结论“在上一致连续”，然后利用一致连续性定理，在上一致连续．从而在上一致连续．其错误在于1o的与有关，由1o得不出在上一致连续．例9设在上一致连续，在上连续，．证明：在上一致连续．证1o因为，所以，当时，有．又因为在上一致连续，所以对，当，时，有．所以，且时，有　　　　　　　．　　2o利用一致连续性定理，知在上一

8、致连续对，当，时，有．3o　取，当且时，总有　　．9　　例10证明：若函数在上是连续的周期函数，则在上一致连续．　　证　若常数，命题成立．若不是常数函数，则存在最小正周期．　　已知函数在上连续，则函数在任意一个闭区间上一致连续，即，当，时，有．　　于是对，时，若时，有．若，时，有　　　　　　　　　　．即函数在上一致连续．　注　本结论充分利用了周期函数的性质，将所讨论的问题转化为在一个周期长的区间上进行讨论．例11设函数在上一致连续，且，有（为正整数）．证明：．证1o