数分选讲讲稿第10讲new

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1、讲授内容备注第十讲4、用递推公式求高阶导数当高阶导数无法直接求出时，可先考虑求出导数的递推公式．方法是：先求出前阶的导数关系然后设法将等式作适当处理，使两端同时求导时，能得到一般的递推公式．例15设，求．　　解　由　两边平方整理得　　　　　　　(1)再求一次导数　　整理得　　　　　　(2)应用Leibniz公式，对(2)两端同时求阶导数　　　　　　　　　　　　　　　　　　整理得　　(3)在(1)、(2)、(3)中，令，得，从而　　　　　3学时11　．例16证明：Legendre多项式满足方程．证　令，则，所以(1)两端同时求阶导数　　　　　　　　　　　　整理得(2)由得代入

2、(2)，整理即得所证的等式．5、用Taylor展开式求高阶导数按的幂展开的幂级数，必是的Taylor展开式11．因此，若得到展开式　　　由唯一性，知　　　　　　　　　．例17求在处的各阶导数．　　解　　　　　　　　　两端从到积分，得　　　　　　　　　　　　　　　所以　　，　　　　　　　　．　　　　　　§3．2　　　微分中值定理　　一、Rolle中值定理1、关于零值点（根）的存在性Rolle中值定理是说：在函数的等值点之间，有导函数的零点（根）．因此，证明导函数有根，只要证明函数有本身有等值点．另外，Fermet定理指出：函数在其极值点处，如果导函数存在，则此点必是导函数的零

3、点．因此，如果知道可导函数有极值点，便知导函数有零点．例1设为有限或无穷区间，在内可微，且（有限值，或）试证：，使．Rolle中值定理的内容、几何意义11证　若（有限值），则．证毕．若，，使．不妨设（，类似可证）．　　因为，且在内连续，所以对任意取定的数：，有介值定理　，，使得．从而由Rolle中值定理知，，使得．若（或），则在内任取一点，有（或）对任取的数：（或），进行上面的推导．例2若　为实系数多项式，且一切根皆为实数．试证：导数，，也仅有实根．证　设　，（其中分别为的重根，）由Rolle中值定理，在相邻二异根之间，存在的一个根．因此，在的个根之间有个根．11　　因为当

4、是的重根时，则必是的重根．　共有个根．　　因为为次多项式，所以只有个根，且在上．的根全为实数．反复上述步骤，作次知，，，得跟全是实数．例3证明：Legendre多项式的一切根在内．证为次多项式分别为的重根．所以以为重根．（共有个）由Rolle中值定理知，为的单根．　　以为重根．（共有个）由Rolle中值定理知，为的单根．重复上述步骤次，知　不再以为根，在内有个互异的实根．但为次多项式，只有个根，故的一切根在内．例4　设函数在上连续，在内可微，．试证：，，使得11．分析　要，即要．即为函数的零点．注意到　　　　　　　　　　　　　．所以只要对函数验证Rolle中值定理的条件既可

5、．　　证设，，．则在上连续，在内可微，且．由Rolle中值定理知，，使得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　．必有．例5　设实数满足.证明方程：在内至少有一个根．证　设则　　　　．在上存在，且，．11由Rolle中值定理知，至少存在一点，使．即方程：在内至少有一个根．例6设函数在上连续，在内可微．若，且．证明：必，使得．证不妨设．（类似可证）令.对：．由连续函数的介值性定理，，使得．从而由Rolle中值定理知，，使得．例7设函数在上可导，，且．证明：方程在内至少有两个根．证不妨设．（类似可证）　　，必，使得．　　，必，使得．由连续函数的介值性定理，使得．11在，应用Rol

6、le中值定理，，使得．即方程在内至少有两个根．例8设函数在上连续，且，．证明：在内至少存在两个不同的点，使得．证令　　　　，则在上连续，可导（微积分基本定理）．且．　　　　　　　　因为，，所以，使得．（事实上，若不然，则在内，或，均与矛盾）．　在，上应用Rolle中值定理得，，使得．即　　　　　　　　　　　．2、证明中值公式复习行列式的求导性质11构造不同的辅助函数，应用Rolle中值定理，可以导出不同的中值公式．　　例9设函数，，在上连续，在内可导．证明：必，使得．证明　设则在上连续，在内可导，．由Rolle中值定理得　　　　　　　，使得．由行列式的求导性质知．　注　本例

7、中，令，，得Lagrange中值定理．　　　　　　　　，得Cauchy中值定理．例10设函数，在上连续，在内可导．，．证明：，使得．证明　作辅助函数则在上连续，在内可导，．由Rolle中值定理得11　　　　　　　，使得．而　　　所以　　　　　　　．例11设函数在上可导，且．证明：，使得．证明设则在上连续，在内可导，．由Rolle中值定理的推广形式，得　　　　　　　，使得．即得．例12设在包含的区间上二次可微，，．证明：，使得．(1)　　证明　因为，可取数，使得．(2)故只要证明：，使得．令　　　(3)则在上二次可微