数分选讲讲稿第37讲new

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1、讲授内容备注第三十七讲三、含参变量广义积分的极限与连续性　2．含参变量广义积分的连续性1)利用连续性守恒定理定理若i)在，上连续；　　ii)关于上一致收敛．则在上连续．　　2)利用该定理的推论　　若i)在，（有限或无穷区间）上连续；　　　ii)在内闭一致收敛．则在内连续．　　例21确定函数的连续范围．解　其中以为瑕点，且，（当时）．所以当且仅当时，即时，收敛．　　对于，当时，于是当且仅当，时，收敛．因此，原积分当且仅当收敛．3学时，（）注：这是的定义域，不是连续区间．7要使上述极限存在，，即．则　在时连续．　　其次，设为内闭区间．对于积分（以为瑕点），，且收敛

2、．由于在放大不等式时，只用到，所以积分在时一致收敛．对于积分，这时，　　　　　　　　（）且收敛，由于在放大不等式时，只用到，所以积分在时一致收敛．所以在上一致收敛．即　在内闭一致收敛．　在内连续．例22若存在．证明函数在上一致连续．证　要证明在上一致连续，即要证明，当时，　．不是初等函数，在定义域上不一定连续．7，当时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)已知存在，当充分大时，有(2)至此将固定，取，当时，(3)由(1)、(2)、(3)知，．　　　　　证毕．四、含参变量广义积分积分号下求导与积分号下求积分1．积分号下求导含参变量广义积分实现积分号下

3、求导，只需验证如下条件：（设为某个区间）i)在上连续；ii)在上收敛；7iii)在上一致收敛；[若为开区间，或半开半闭区间，不论有限或无穷，此条件可放宽为关于上内闭一致收敛]则．　　若补充条件：当时，函数，连续可导，则　　．对于以及无界函数的广义积分，有类似结论．例23　求，设．(1)解　为瑕点，被积函数在时，与同阶，而收敛．被积函数在时，与同阶，而收敛．所以原积分收敛．　　　　　(2)而且收敛．故积分(2)关于一致收敛．　，7在，上的连续性明显．因此　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．例24设，试证：1)；2)在内单调递减．证　

4、1)　应用罗必塔法则　　　　　　．2)　　　　　　　　　　7　　　　所以，在内单调递减．2．积分号下求积分含参变量广义积分实现积分号下求积分，只需验证如下条件：i)在上连续；ii)对一致收敛．则　．另外：若i)在上连续；　　ii)在上内闭一致收敛；　　在上内闭一致收敛；iii)及至少有一个收敛．则　　　．例25计算积分．解　　　　　　　　　而　对一致收敛，所以　　　　　7　　　　例26试利用　(1)计算积分．解　(1)表明是取常数的函数．记　　则　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以　．7