数分选讲讲稿第23讲new

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1、讲授内容备注第二十三讲§5.1数项级数一、求和问题1．利用已知级数例1　计算　．解．故原级数的和为．例2　计算　解2．连锁消去法3学时10例3　设．求级数的和　．解　　　　　　．例4　求如下级数的和：1）；2）．解　提示：利用公式　　1）2）3．方程式法建立的方程式，从中求出的表达式．例5　计算　10解记两边同乘以：解此方程得4．先求出的表达式例6　设．求级数的和　．解若，显然级数和为0．设，记　，则　　　　　　　　　　10　　　　　　于是　　　　　　　　由引理，　．于是原级数的和：　二、级数收敛性的判定　１．准则及其应用　1）准则：收敛，，当　　　　

2、　　　　　时，对，恒有．级数收敛的必要条件：若收敛，则．　2）准则的否定形式：发散，　　　　　　　　　　，及某个自然数，　　　　　　　　　　　　恒有．华师大下册P79当时，关于一致趋于0．10例7　设，，级数，试证：发散．证　，，．．　，．故，当充分大时，有　　　　　　　．从而　　　．取，，当时，对足够大的，有　　　　　由准则知，　发散．例8　设，，级数发散，试证：收敛．证　发散，且，　　．10首先证明　收敛．所以正项级数收敛．设，取，由中值定理得　　　　即　　　　　　　　　由正项级数的比较判别法知，级数　　收敛．即　级数　　收敛．例9　如果，．试问级

3、数是否一定收敛？（“是”或“不一定”说明理由）　答　不一定．如　　由准则知其发散．但，例10证明：级数收敛对于任意的正整数序列，及自然数的任意子序列，皆有10．证　　收敛，，当时，对，恒有　　　　　　　　　．由知，当时，有．（反证法）若发散，则　，，及某个自然数，使得特别：，及，使得　　　，及，使得　　　如此下去，得到自然数的子序列，以及，使得与已知条件矛盾．证毕．　2．正项级数敛散性的判定判断正项级数的敛散性，通常有如下方法：101）若通项，则发散．2）判阶法：若通项，且与为同阶无穷小，则时，收敛，时，发散．　　3）比较判别法（几何级数，级数为比较对

4、象）4）（比值）判别法(根式)判别法（积分）判别法5）考虑部分和是否关于有界．有界则收敛，无界则发散．例11若，则级数是否收敛？证　已知　且　　　　（当充分大）为无穷小量，且与为等价无穷小量．故　与同时收敛．又　　收敛，由比较判别法知，收敛．从而级数收敛．例12证明：判别法：10假设，则1）若，使得则级数收敛．2）若发散，且则级数发散．证1）由（1）式知，而由单调有界定理，收敛．而级数　的前项部分和　　　　　　　　　存在．即级数收敛．由（3）式及比较判别法知，收敛．2）由（2）式知发散，知发散．利用比较判别法华师大下册P16习题310例13若正项级数收

5、敛，且证明收敛．证　只需证明收敛．　　　即　　．于是　　当足够大时，由收敛，知收敛．　所以　收敛．10