数分选讲讲稿第20讲new

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1、讲授内容备注第二十讲三、不等式设，并使所论的积分有意义．为共轭实数（即），则时，时，若连续，则其中的等号当且仅当与成比例（不全为零，使得）时成立．例6试证明：证令则于是3学时奇函数积分9四、不等式设，在上有定义．使下面积分有意义．则，时，时，五、不等式设严格单调增，连续于上，表示的反函数，则其中的等号当且仅当时成立．该式从几何上看，是十分清楚的．因为积分等于曲边梯形的面积．可能发生的三种情况，如图所示，，9从图形上看，三种情况都有：并且等号只在第三种情况发生.故命题从几何上看十分明显.例7证明:当时,不等式证单调增,连续,,且由不等式即9例8（杨格不等式）

2、设试证：证I，故单调增,连续,，由不等式证II令则所以在时为最小值．但即于是§4．6广义积分本节内容包括：广义积分的计算、收敛性的判定、广义积分的极限、广义积分（无穷限积分）的敛散性和无穷远处的状态．一、广义积分的计算（三种基本方法）利用补充广义积分的定义定积分要求1．有界函数2．积分区间有限9公式，利用变量替换，利用分部积分法，是计算广义积分的三大基本方法．　　例１　计算广义积分　解（这里为参变量，为积分变量）令则令，则而将上式两端相加，除以，得所以注：本例的变量替换，主要是去掉被积函数的绝对值符号，逐步减少积分中的参量个数．9例2证明等式：其中（假设积

3、分有意义）．证比较(1)式两边，必须使得此即要求亦即所以取代换则(2)式成立．(2)+(3)：于是而因此，注：本例说明如何寻找变量替换．9例3已知试证：证例4设为自然数．求．解可求递推公式注：本例引入变量替换后，能够利用所给的条件．9例5　计算积分解I所以解II令所以例6　证明：与无关．证原积分与无关．9例7　求：解，令，得当时，当时，所以　　　　9