数分选讲讲稿第38讲new

《数分选讲讲稿第38讲new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、讲授内容备注第三十八讲§7.2重积分一、二重积分的计算直角坐标系（型区域，型区域）、极坐标系（极点位置的三种情况）下二重积分化为定积分的几何定限法.例1改变累次积分的积分次序．解　积分区域由，，围成．交点坐标，．　．　　例2计算．解　积分区域：，为型区域，由于被积函数关于不能积分，改为型区域：　　　：，．例3计算积分．解　交换积分次序，有3学时10．例4化累次积分为定积分．解　积分区域由直线，和围成．在极坐标系下，这三条直线的方程分别是　　，，　．于是　　　　　　　．10例5化累次积分为定积分．解积分区域的边界　，即，中心，半径．　　极坐标方程，　．　　　　　　　　　　

2、　　　　　　　　　　　　　　　．利用对称性计算二重积分当且仅当积分区域及被积函数都具有对称性时，才可以利用对称性简化积分的计算．例6平面上由确定的区域记作，试计算积分．解　积分区域通过极坐标代换后，变为积分区域与被积函数关于直线对称．故只要计算内的部分，再2倍即可．圆与的交点：．　　10　　．分区域积分：当被积函数在积分区域的不同部分上，具有不同的（初等函数的）表达式，应将区域划分为不同的部分，分别积分再相加．例7计算积分．解　被积函数　　被积函数与积分区域都关于坐标轴对称，因此只要计算第一象限内的部分，4倍即可．　　双曲线与圆在第一象限的交点上，10，因此有　　　　　

3、　　　　　．例8计算积分；．解.　　10:.作变量替换：i）选取变量替换的原则：使得被积函数简化，即分区域变得易于定限．一般来说应二者兼顾．当二者矛盾时，应优先考虑较困难的．ii）对积分，作变换，，关键在于找出变换后的区域　　　　　　　　　　　　则　　　　　　其中雅可必行列式　．iii）几何定限法：固定，所的坐标曲线，随连续变化时，坐标曲线连续变动．假如从连续增大到，恰好扫过积分区域，这就说明对应的有关系　．（，为外层积分的上、下限）．　　设，上的点随增加时，当变到时穿入，当变到时穿出，这就表明对应的满足．（，是内层积分的上、下限）．10例9计算积分，其中为平面曲线，，

4、和所围成的有界闭区域．解　作变换，，则积分区域变为则　　　　　　　　　　　　　．　　　　　　　例9　　　　　　　　　　　　　　　　例10例10计算积分，其中．解10令，，则　　　　　　　　　．注　由轮换对称性知，，可直接得出原积分为零．例11计算积分，其中为，，所围成的三角形区域．解令，，则，10　　　　　　　　　例11　　　　　　　　　　　　　　　例12例12计算积分，其中为直线和坐标轴所围成的三角形区域．解I令，，则，解II令，，则，．例13计算积分．10解被积函数故单位圆被分成两部分，其中所以．10