数分选讲讲稿第22讲new

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1、讲授内容备注第二十二讲例15　设．试证：与同时收敛，同时发散．证，故或．　　若，而由判别法知，收敛．从而由　　　　　　　　知　　与同时收敛．　　若则，当时，有而　　　发散由比较判别法知　发散．于是发散．同理　　　而　　　发散．所以　发散．于是　发散．综合，知，两个积分同时收敛，同时发散．例16讨论如下积分的敛散性：1）2）3学时83）解1）为非负函数的积分，用比较判别法．由不等式知　时，　积分　收敛．从而　收敛．若　时，积分发散，由例16知　发散，从而　　发散．　　2）利用1）的结果及等式可知，积分当且仅当时收

2、敛．3）时，不是瑕点，敛散性与2）相同．例17证明如下积分收敛：证设，积分，绝对收敛，条件收敛8其中，由准则知，积分收敛．三、无穷限的广义积分的收敛性与无穷远处的极限　　本段讨论收敛与的关系．1）收敛，一般不意味着　　如：收敛但．2）收敛，且，仍不能断言　　如：3）收敛，且，连续，还可能　　　如：8　　　收敛．4）上述条件，将改为，仍然不能肯定　　如：　其中按3）中的同样的方式定义．5）若单调，收敛，则．6）若在上一致连续（或更强些，有有界的导数），则收敛，推出．例18试证：若在上一致连续，且广义积分收敛，则．

3、证（反证法）若，则，时，有．又在上一致连续，　，，当时，有故当时，并且与同号（因为不然的话，，与（１）式矛盾）若，则，从而由（2）式知，故必要条件强调无穷积分与极限问题中准则的应用8同理，若，亦有即对，，使得由准则知，发散．矛盾，证毕．例19证明：若在上连续可微，和都收敛，则．证要证明时，由有极限，根据定理，只要证明：，恒有收敛．已知积分收敛，据准则　　，，恒有．如此：，对上述，当时，有．从而．即收敛．故由定理，存在极限　　　　　　．下证．若，则由极限的保号性，当时，．从而时，　与收敛矛盾．同理可证：也不可能．

4、故　　　　　　．8例20设在上单调减，且收敛．试证明：　．证　　由题设．若不然，存在某，使，则当时，恒有　．由在上单调减，必有．　从而发散，与已知结论5）矛盾．其次，由收敛，据准则知，，，当时，恒有．故，有即　　　　　　．例21设收敛，在上单调下降，证明：　．证收敛由准则知，，，当时，恒有．故时，8即．注：．由在上单调减，可推出在上单调减．事实上　　，由在上单调减　　　，而　即在上单调减．．由在上单调减，收敛，可推出　．练习题1．计算　；2．计算　；3．设在上可微，且当时，单调增趋于，则和都收敛．4．证明：．其

5、中左，右积分存在，且．5．设是上的非负连续函数，并满足　（1）在上存在有界导数（2）8证明：．8