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1、第8课时 空间线面关系的判定 教学过程一、问题情境在《立体几何初步》一章中,我们研究了空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系?二、数学建构设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.问题1 展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示?解 l1∥l2⇔e1∥e2,l1⊥l2⇔e1⊥e2.问题2 展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n
2、1表示?解 l1∥α1⇔e1⊥n1,l1⊥α1⇔e1∥n1.问题3 展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示?解 α1∥α2⇔n1∥n2,α1⊥α2⇔n1⊥n2.设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2三、数学运用【例1】 (教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=
3、90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM.[1](见学生用书P63)(例1)[处理建议] 要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.[规范板书] 证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=
4、
5、
6、
7、cos30°=2××=3.因为∥,A1A=,M是CC1的
8、中点,所以
9、
10、=,所以·=
11、
12、
13、
14、cos180°=××(-1)=-3,所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.[题后反思] (1)证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2)要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.变式1 在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.[规范板书] 证明 =-,=+,故·=·+·-·-·.因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,所以·=0,·=0,故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.变式2 在例1中,试建立适
15、当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.[规范板书] 证明 以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A1B⊥AM.【例2】 (教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.[2](见学生用书P64)(例2(1))[处理建议] 在教材第83页的例2中,我们曾用共面向
16、量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.[规范板书] 证明 因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(例2(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为==(-a,b,0),
17、==(0,-b,-c),所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.[题后反思] 证明线面平行有两种方法:线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.变式 如
18、图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE?(变式(1))[规范板书] 证明 以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),(变式(2))所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).因为=++=x++=(
