3.2.2 空间线面平行与垂直关系的判定

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1、3.2.2空间线面平行与垂直关系的判定攸县一中洪开科一、复习引入用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题;(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。(化为向量问题)(进行向量运算)(回到图形)OD1C1B1A1DBCA例1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证:B1C∥平面ODC1,又B1C平

2、面ODC1,∴B1C∥平面ODC1分析(基底法):只要证明与平面ODC1中的一组基底共面.A1D1B1ADBCC1EFxyz例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1,CD中点,求证:D1F⊥平面ADE证明:设正方体棱长为2,如图建立空间直角坐标系D-xyz∵D1F⊥DA,D1F⊥DE又DA∩DE=D所以D1F⊥平面ADE例3.如图,四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形,其对角线AC=2,BD=,且CF⊥平面ABCD,CF=2.求证:平面ABF⊥平面ADF(2009安徽卷理(1))证:∵ABCD是正

3、方形,∴AC⊥BD.如图建立空间直角坐标系O-xyz则A(0,-1,0),C(0,1,0),F(0,1,2)BCFADOxzyABCDEPF(1)证明:因为ABCD是菱形,∠ABC=60°且PA=AC=a,∴菱形的边长为a.∴PA2+AB2=2a2=PB2.∴PA⊥AB.同理PA⊥AD,∴PA⊥平面ABCD.例4.如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证明PA⊥平面ABCD;(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大

4、小;(3)在棱PC上是否存在一点F使BF//平面AEC?证明你的结论.ABCDEPFyzxN例4.如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证明PA⊥平面ABCD;(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(3)在棱PC上是否存在一点F使BF//平面AEC?证明你的结论.(2)解:过A作AN⊥AD交BC于N,如图建立空间直角坐标系A-xyz.设平面EAC的法向量为易知平面DAC的法向量为∴θ=30º.ABCDEPFy

5、zxN例4.如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.(1)证明PA⊥平面ABCD;(2)求以AC为棱,EAC与DAC为面的二面角θ的大小;(3)在棱PC上是否存在一点F使BF//平面AEC?证明你的结论.,(3)假设存在点F满足条件.其中0≤λ≤1.且又BF平面AEC∴存在点F是棱PC的中点,使BF//平面AEC.五、迁移练习1.下列判断不正确的是()A.若两平面的法向量共线,则两平面平行.B.若直线的方向向量与平面的法向量共线,则

6、直线与平面垂直.C.若两平面的法向量垂直,则两平面垂直.D.若直线的方向向量与平面的法向量垂直,则直线与平面平行.2.棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,在棱DD1上找到一点P使B1D⊥面PAC,则DP的长为______DaABCA1B1C1Myz3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,A1A=,M是CC1得中点。求证:A1B⊥AM总结:用向量证明比几何方法证明简单、明了。证明:如图建立空间直角坐标系C-xyz4.在正方体AC1中,E、F分别是BB1、CD的中点,求证

7、:面AED⊥面A1FD1ABCDA1B1C1D1EFXYZ5.如图,已知矩形和矩形所在平面互相垂直,点分别在对角线上,且求证:ABCDEFxyzMN简证:因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直。以为正交基底,建立如图所示空间坐标系,设AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则可得各点坐标,从而有又平面CDE的一个法向量是因为MN不在平面CDE内所以MN//平面CDE

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