椭圆的标准方程学案

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1、第2课时　椭圆的标准方程(1)　教学过程一、问题情境汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢?是否是椭圆应该看其是否符合椭圆的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢?回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.二、数学建构回顾椭圆的概念:一般地,平面内到两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.特别地:当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;　　当MF1+MF2

2、圆方程:设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).(图1)设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知PF1+PF2=2a,即+=2a.[2]将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,即a2-cx=a.两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2

3、-c2).因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).　(图2)问题1　如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗?解法一　两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y互换即可得到方程+=1(a>b>0).

4、解法二　从定义出发,将+=2a变换为+=2a.可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).问题2　如何判断椭圆标准方程中焦点的位置?解　看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.巩固练习　求下列椭圆的焦点坐标:(1)+=1;(2)16x2+7y2=112.[规范

5、板书]　解　(1)c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).(2)方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).[题后反思]　求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.三、数学运用【例1】　已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围.(见学生用书P17)[处理建议]　引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.[规范板书]　解　因为椭圆焦点在x轴上,故所以7

6、一个椭圆,求k的取值范围.[处理建议]　让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.[规范板书]　解　由题意可得所以40,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么?答:圆.[3]【例2】　(根据教材第32页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=3,焦点在x轴上;(2)b=1,c=;(3)两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3).(见学生用书P18)[处理建议]　引导学生首先分

7、析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.[规范板书]　解　(1)因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.(2)因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.(3)由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),所以解得所以椭圆的标准方程为+=1.[题后反思]　椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方