第10讲 余数问题11.03

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1、第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类：带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么，这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题：㈠带余除法。一般地，如果.α是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，使得α÷b＝q……r或α＝b×q＋r当r=0时，我们称α能被b整除。当r≠0时，我们称α不能被b整除，r为α除以b的余数，q为α除以b的不完全商(也简称为商)。带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系，特别需要注意的是，余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。㈡余数周期。这其中又分

2、为递推数列（给一串数，要求第χ个数除以某个数的余数）和n次幂（求一个数的n次方除以某个数的余数）相关的余数问题，处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律，因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如，求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。㈢同余问题。1、什么是“同余”？整数α和b除以整数c，得到的余数相同，我们就说整数α、b对于模c同余。记作：α≡b（modc）例如：15÷4＝3……323÷4＝5……315和23对于除数4同余。记作：15≡23（mod4）可以理解为15和23除以4的余数相同。2、“同余”的四个常用性质是什么？同余性质1：如果α≡b(modm)，则m

3、︱（α－b）若两数同余，他们的差必是除数的倍数。例如，73≡23(mod10)则10︱（73－23）73与23的差是10的倍数。8同余性质2：如果α≡b(modm)，c≡d(modm),则α±c≡b±d(modm)两数和的余数等于余数的和。两数差的余数等于余数的差。例如，73≡3(mod10)84≡4(mod10)73+84≡3+4≡7(mod10)84－73≡4－3≡1(mod10)同余性质3：如果α≡b(模m)，c≡d(模m),则α×c≡b×d(模m)两数积的余数等于余数的积。例如，73≡3(模10)84≡4(模10)73×84≡3×4≡2(模10)同余性质4：

4、如果α≡b(模m)则αn≡bn(模m)某数乘方的余数，等于余数的乘方。例如，40≡1（mod13）4031≡131≡1（mod13）很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子：“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a＋5、2a、a，求这个自然数和a的值。”这是同余问题，已知被除数和余数，求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数，然后两两做差求最大公约数，就是“物不知其数”问题。4、“物不知其数”。与同余问题相对应的是“物不知其数”，例如：“一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。”这种问题有两个万能方法：逐级满足和中国剩

5、余定理。但是考试往往不考这两个方法，这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系（和或差），若他们的和或差相同，那么就有简单的解题方法（即所谓“加同补”、“减同余”），实在没有，再考虑逐级满足和中国剩余定理。我们在解决“物不知其数”题目，有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”：绝招一：减同余。例2、例3绝招二：加同补。例4、作业4、学案3绝招三：中国剩余定理。绝招四：逐级满足法。8例1（3130＋3031）被13除所得的余数是多少?分析：⑴31被I3除所得的佘数为5，当n取l，2，3，…时，5n被I3除所得佘数分别是5，12，8

6、，l，5，⒓，8，l，…，以4为周期循环出现，所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同，余12。即3130除以13的余数为12。⑵30被13除所得的余数是4，当n取l，2，3，…时，4n被13除所得的佘数分别是4，3，12，9，10，1，4，3，12，9，10，……，以6为周期循环出现，所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数，即4，故3031除以13的余数为4。所以，（3130＋3031）被13除所得的余数是I2＋4－13＝3解：⑴31≡5（模13）3130≡530≡52≡12（模13）⑵30≡4（模13）3031≡431≡41≡4（模13）

7、⑶3130＋3031≡12＋4≡3（模13）答：（3130＋3031）被13除所得的余数是3。点睛：用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。例2一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为α，α十2，α十5，则这个自然数是多少?分析：根据题意，这个自然数去除290，233，195时，得到相同的余数(都为α)。既然余数相同，根据同余性质“若两数同余，他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。290－233＝57233－195＝38290－195＝95除数是57、38、95的公约数，（57，38，9