第10讲 余数问题11.03

第10讲 余数问题11.03

ID:12184917

大小:103.50 KB

页数:8页

时间:2018-07-16

第10讲  余数问题11.03_第1页
第10讲  余数问题11.03_第2页
第10讲  余数问题11.03_第3页
第10讲  余数问题11.03_第4页
第10讲  余数问题11.03_第5页
资源描述:

《第10讲 余数问题11.03》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库

1、第十讲余数问题常考的余数问题基本可以分成四类:带余除法、余数周期问题、同余问题、“物不知其数”。解题时关键要分清楚它到底是想考你什么,这样才能拿出正确的破解方法。下面我简单谈谈这四类问题:㈠带余除法。一般地,如果.α是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,使得α÷b=q……r或α=b×q+r当r=0时,我们称α能被b整除。当r≠0时,我们称α不能被b整除,r为α除以b的余数,q为α除以b的不完全商(也简称为商)。带余除法最关键就是理清被除数、除数、商、余数的关系,特别需要注意的是,余数肯定小于除数。出题者常常会在这里设置陷阱。㈡余数周期。

2、这其中又分为递推数列(给一串数,要求第χ个数除以某个数的余数)和n次幂(求一个数的n次方除以某个数的余数)相关的余数问题,处理这两类问题一个最直接的做法就是找规律,因为它们除以某数的余数都是有周期的。例如,求3130÷13的余数。例如尖子班作业1。㈢同余问题。1、什么是“同余”?整数α和b除以整数c,得到的余数相同,我们就说整数α、b对于模c同余。记作:α≡b(modc)例如:15÷4=3……323÷4=5……315和23对于除数4同余。记作:15≡23(mod4)可以理解为15和23除以4的余数相同。2、“同余”的四个常用性质是什么?同余性质1:如果α≡

3、b(modm),则m︱(α-b)若两数同余,他们的差必是除数的倍数。例如,73≡23(mod10)则10︱(73-23)73与23的差是10的倍数。8同余性质2:如果α≡b(modm),c≡d(modm),则α±c≡b±d(modm)两数和的余数等于余数的和。两数差的余数等于余数的差。例如,73≡3(mod10)84≡4(mod10)73+84≡3+4≡7(mod10)84-73≡4-3≡1(mod10)同余性质3:如果α≡b(模m),c≡d(模m),则α×c≡b×d(模m)两数积的余数等于余数的积。例如,73≡3(模10)84≡4(模10)73×84≡3

4、×4≡2(模10)同余性质4:如果α≡b(模m)则αn≡bn(模m)某数乘方的余数,等于余数的乘方。例如,40≡1(mod13)4031≡131≡1(mod13)很多人分不清同余问题和“物不知其数”问题的区别。举个例子:“一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a+5、2a、a,求这个自然数和a的值。”这是同余问题,已知被除数和余数,求除数。这种问题就是想办法把余数都化为相同的数,然后两两做差求最大公约数,就是“物不知其数”问题。4、“物不知其数”。与同余问题相对应的是“物不知其数”,例如:“一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。”

5、这种问题有两个万能方法:逐级满足和中国剩余定理。但是考试往往不考这两个方法,这两个方法往往也比较繁琐。考试题里不妨去研究研究题中给的除数和对应的余数的关系(和或差),若他们的和或差相同,那么就有简单的解题方法(即所谓“加同补”、“减同余”),实在没有,再考虑逐级满足和中国剩余定理。我们在解决“物不知其数”题目,有“四大绝招”把余数问题转化为“整除问题”:绝招一:减同余。例2、例3绝招二:加同补。例4、作业4、学案3绝招三:中国剩余定理。绝招四:逐级满足法。8例1(3130+3031)被13除所得的余数是多少?分析:⑴31被I3除所得的佘数为5,当n取l,2

6、,3,…时,5n被I3除所得佘数分别是5,12,8,l,5,⒓,8,l,…,以4为周期循环出现,所以530被I3除的余数与52被13除的余数相同,余12。即3130除以13的余数为12。⑵30被13除所得的余数是4,当n取l,2,3,…时,4n被13除所得的佘数分别是4,3,12,9,10,1,4,3,12,9,10,……,以6为周期循环出现,所以431被I3除所得的余数等于41被13除所得的佘数,即4,故3031除以13的余数为4。所以,(3130+3031)被13除所得的余数是I2+4-13=3解:⑴31≡5(模13)3130≡530≡52≡12(模1

7、3)⑵30≡4(模13)3031≡431≡41≡4(模13)⑶3130+3031≡12+4≡3(模13)答:(3130+3031)被13除所得的余数是3。点睛:用到同余的性质“某数乘方的余数等于余数的乘方”“两数和的余数等于余数的和”。例2一个大于1的数去除290,235,200时,得余数分别为α,α十2,α十5,则这个自然数是多少?分析:根据题意,这个自然数去除290,233,195时,得到相同的余数(都为α)。既然余数相同,根据同余性质“若两数同余,他们的差必是除数的倍数。”可知其中任意两数的差都是除数的倍数。290-233=57233-195=382

8、90-195=95除数是57、38、95的公约数,(57,38,9

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。