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1、高二理科数学期末考试卷一、选择题(5分×12=60分)1、设是原点,向量对应的复数分别为那么向量对应的复数是A.B.C.D.2、在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步验证n等于A.3B.4C.5D.63、异面直线与上的单位方向向量分别为,,且,则与的夹角为A.B.C.D.4、A.0B.1C.2D.5、双曲线的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是A.2B.C.D.6、在下列结论中,正确的是()①为真是为真的充分不必要条件②为真是为假的必要不充分条件③为假是为真的充分不必要条件④为真是为假的必要不充分条件
2、A.①②B.①③C.②④D.③④7、“三角形的三条中线交于一点,而且这一点到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍”.试类比:四面体的四条中线(顶点到对面三角形重心的连线段)交于一点,而且这一点到顶点的距离等于它到对面重心距离的倍.A.2B.3C.4D.58、如图三棱锥A-BCD中,AB=AC=AD=2,∠BAD=,∠BAC=,∠CAD=,则A.-2B.2 C.D.-9-9、已知为曲线上一点,则点到直线距离最小值为A.1B.C.D.210、函数,已知在时取得极值,则=A.2B.3C.4D.511、是的导函数,的图象如右图所示,则的
3、图象只可能是(A)(B)(C)(D)12、过椭圆的左焦点作直线交椭圆于、两点,若存在直线使坐标原点恰好在以为直径的圆上,则椭圆的离心率取值范围是A.B.C.D.二、填空题(4分×4=16分)13、曲线在处的切线方程为。14、由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为。15、已知命题与命题都是真命题,则实数的取值范围是。16、已知抛物线到其焦点的距离为5,双曲线的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM垂直,则实数a=。三、解答题(共六题74分,在答题卡规定的位置答题,写出必要的解题过程。)-9-17、(本小题满分12分)已知中至少有一个
4、小于2。18、(本题满分12分)已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,底面ABCD,且PA=AD=DC=AB=1,M是PB的中点.(Ⅰ)求AC与PB所成的角的余弦值;ABCDPM(Ⅱ)在棱PC上是否存在点N,使DN∥平面AMC,若存在,确定点N位置,若不存在,说明理由。19、(本题满分12分)已知数列满足,,(Ⅰ)计算出、、;(Ⅱ)猜想数列通项公式,并用数学归纳法进行证明。20、(本题满分12分)某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有-9-200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.
5、当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元;另给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.(Ⅰ)写出n关于x的函数关系式;(Ⅱ)要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修。(总损失=渗水损失+政府支出)21、(本题满分12分)已知、为椭圆的焦点,且直线与椭圆相切.(Ⅰ)求椭圆方程;(Ⅱ)过的直线交椭圆于、两点,求△的面积的最大值,并求此时直线的方程。22、(本小题满分14分)已知A(-1,2)为抛物线C:上的
6、点,直线过点A,且与抛物线C相切,直线:交抛物线C于B,交直线于点D.(1)求直线的方程;(2)设的面积为S1,求及S1的值;(3)设由抛物线C,直线所围成的图形的面积为S2,求证S1:S2的值为与a无关的常数。-9-参考答案一、选择题:(每题5分,共60分)123456789101112DBBACABABDDD二、填空题:(每题4分,共16分)13.14.181516.三、解答题17、证明:假设都不小于2,则因为,所以,即,这与已知相矛盾,故假设不成立故中至少有一个小于218、解:方法1:(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系O—xyz,
7、则A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1),B(0,2,0),M(0,1,),∴,∴.………………………6分(Ⅱ)存在,N为PC中点.设则.………7分ABCDPMzxy设平面AMC的一个法向量为∴令,则,∴………………………9分-9-依题意,∴,即N为PC中点.………………………………12分ABCDPME方法2:(Ⅰ)如图,过作∥,且,连结CE、AE,则即为AC与PB所成的角,由已知可得,ABCDPMFGN.……………………………………………6分(Ⅱ)存在,PC中点N即为所求.连DB交AC于点F,取PM中点G,连DG、
8、FM,则DG∥FM,取PC中点N,连DN,则GN∥MC,平面DGN∥平面AMC,DN∥平面AMC.……………………………………………12分19、解:(Ⅰ)-------------------------3分;(Ⅱ)由⑴知分子是3,分母是以首项为5