01第一章 数学预备知识(0)

《01第一章 数学预备知识(0)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、西南财经大学高宏课件蔡晓陈蔡晓陈西南财经大学经济学院公共邮箱：cxcmacroeconomics@yahoo.cn密码：12345678联系电话：13438821926Page31of31西南财经大学高宏课件蔡晓陈第一章数学预备知识本章讲述若干数学预备知识，包括导数及其应用、静态优化、积分、微分方程、差分方程以及相位图分析等内容。这些预备性的数学知识对于学习高级宏观经济学是必须的，但是在微观经济学、数理经济学、时间序列分析、高等数学等课程中有详细的讨论，在这里我们只是将与我们后面的学习有关的知识要点罗列在一起并在必要时做出一定的经济解释。这里的数学知识只是与动态优化相关的部分，对于

2、学习高级宏观经济学必须的其他数学知识并未涉及，特别是时间序列、概率论等知识。具体来说，本章目的如下：1、熟悉回顾一元与多元导数的求法以及有关应用，尤其是其次函数的性质与泰勒近似；2、理解静态优化的求法与含义，尤其是拉格朗日乘子的经济含义与一阶条件的经济解释；3、熟悉积分的莱布尼茨公式；4、了解微分与差分方程的一般解法；5、熟练掌握相位图分析方法。第一节导数及其应用一、导数有函数，一阶导数就是：（1.1.1）导数的经济含义是：边际量、变动一单位时π变动的大小、对π的变动速率。【例1-1】增长率。在宏观经济学中，导数将会常常出现。由于Page31of31西南财经大学高宏课件蔡晓陈，所以

3、该式表示连续时间形式的增长率（百分比）。对于实际数据而言，实际总是离散的。该式近似为：（1.1.2）上式中第二个等号表示我们常常考察的是相邻的两个时间点之间的数据。该式表明，相邻的两个时间点之间的数据对数之差等于增长率。例如，如果变量为GDP，则上式表示GDP增长率；如果为一般物价水平，则上式为通货膨胀率；如果为资产价格，则上式为资产收益率。【例1-2】弹性弹性是经济学中的重要概念，表示自变量变动百分比引起因变量变动的百分比之比，或自变量变动一个百分点引起因变量变化的百分数。弹性和导数一样，也是表示一个变量对另一个变量的反应程度。同时，由于它无量纲化，所以比导数更有用。设函数为，弹

4、性为在经济学中，有时会增添一个负号。：弹性的另一有用表达为简单推导参见范里安《微观经济学：现代观点》p234（第六版中文版）。：我们后面将常常遇到消费的跨期替代弹性（IES），它与边际效用关于消费的弹性（EMU）有关。我们从EMU开始，它被定义为：IES要描述的是消费变化与导致的边际效用变化之间的关系：Page31of31西南财经大学高宏课件蔡晓陈如果边际效用接近常数——这意味着消费者将某一消费量放在任何时点上消费都是一样的，无差异曲线接近直线，IES近于无穷，表明消费者在不同时点替代消费的意愿近于无穷，或者说消费者愿意在任意时点进行消费，消费者对于在何时进行消费是无差异的。如果效

5、用函数的二阶导数为负数（这是通常的情形），则消费增加时边际效用减少，消费者并不愿意在不同时点间进行消费替代。IES刻画的就是这种替代的意愿。当效用函数的二阶导数为负数的绝对值越大，IES越小，消费者替代意愿越弱。如果消费者面对一个正的收入冲击，则IES越小时消费者越愿意将额外的收入分摊到各个不同时期消费而不是集中在某一时期，所以消费就越平滑。对于CRRA形式的效用函数，EMU为常数，而IES为，两者互为倒数。对于更一般的效用函数形式，两者互为倒数的关系在近似意义上也是成立的。对于连续时间情形而言，跨期替代弹性中的“跨期”似乎有点用词不当，使用“瞬时替代弹性”似乎更为准确。但是对于离

6、散时间而言，IES称之为跨期替代弹性确实是实至名归：IES为不同时点上消费者跨期替代的意愿，被定义为两个不同时点上边际效用变化百分比与消费变化百分比之间的关系。上式中第一个等号用到了例1-1中的对数之差表示增长率的方法，第二个约等式可以直观看出两个增长率之比的含义。对于离散时间的IES，如果效用函数是CRRA的，则IES与EMU同样互为倒数。跨期替代弹性是效用函数的二阶特征，与无差异曲线的曲率有关，但是两者有所差别。边际效用关于消费的弹性实际上也是相对风险厌恶系数。二阶导数表示边际量的变化速率，可用如下方式表示：Page31of31西南财经大学高宏课件蔡晓陈、、有时我们要用到微分。

7、函数，则相应微分形如参见尼科尔森《微观经济学：基本原理与扩展》。：导数是微商。对于多元函数，我们常常需要计算偏导数。设函数为，则偏导数之一为：（1.1.3）偏导数与经济学中的一个常见假设——其他条件不变（ceterisparibus）假设对应。高阶（二阶）偏导数为：（1.1.4）求偏导数与求导数的方法没有太大的差别，只是在求的时候让其他变量固定即可。对于混合偏导数，下面的定理是重要的。Young定理：只要和存在，则=二、齐次函数的两个性质次齐次函数：自变量都扩大倍，函