第01章 预备知识

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1、个人简介概率论是数学的一个有特色的分支．一方面，它有别开生面的研究课题有自己独特的概念和方法，内容丰富，结果深刻；另一方面，它与其它数学分支又有紧密的联系，它是近代数学的重要组成部分．概率论的理论和方法向各个基础学科、工程学科的渗透是近代科学校术发展的特征之一．概率论与其它学科相结合发展成不少边缘学科，如生物统计、统计物理和数学地质等；它又是许多新的重要学科的基础，如信息论控制论、可靠性理论和人工智能等．通过本课程的教学，使学生掌握处理随机现象数量规律的基本原理和方法，培养学生解决某些有关实际问题的能力．为后继课程的学

2、习奠定坚实的基础20引言一、什么是概率论[学习目的]1、确定性现象——在试验之前就能断定试验有一个确定结果的现象。当我们多次观察自然现象和社会现象，会发现许多事情在一定的条件下必然会发生．例如在没有外力作用的条件下，作等速直线运动的物体必然继续作等速直线运动;在不受外力作用的条件下，作等速直线运动的物体改变其等速直线运动状态是不可能的．又如在海边生活时，水加热到100℃时必然会沸腾等等．2、随机现象——在试验之前无法确定试验结果的现象。例如用同一仪器多次测量同一物体的重量，所得结果彼此总是略有差异，这是由于诸如测量仪器

3、受大气影响，观察者生理上或心理上的变化等等偶然因素引起的．20同样地，同一门炮向同一目标发射多发同种炮弹，弹落点也不一样，因为炮弹制造时种种偶然因素对炮弹质量有影响．此外，炮筒位置的误差，天气条件的微小变化等等都影响弹落点．再如从某生产线上用同一种工艺生产出来的灯泡的寿命也有差异等等．总之，所举这些现象的—个共同的特点是：在基本条件不变的情况下一系列试验或观察会得到不同的结果．换句话说，就个别的试验或观察而言．它会时而出现这种结果，时而出现那种结果，呈现出一种偶然性这种现象就是随机现象．3、概率论——研究随机现象的数量

4、规律的一个数学分支。4、学习目的——能运用本课程基本原理和方法处理随机现象问题，二、怎样学概率论[学习要求]1、学习内容——第一章至第九章(具体见书)20要注意学习代数及波雷尔集、特征函数、维正态分布、方差分析以及多元线性回归，同时要认真掌握许多定理的数学证明。2、教学安排——每两周10学时讲课，其中2学时习题课。3、学习要求——专心听讲、做好笔记、预习复习、完成作业、遵守纪律。4、参考资料——复旦大学《概率论(第一册概率论基础)》；戴宗舒《概率论与数理统计教程》；华工.毛刚源《概率论与数理统计》解题方法技巧归纳华东师

5、大《数学分析》；北大《高等代数》,王柔怀《常微分方程讲义》；江泽坚等《实变函数论》；余家荣《复变函数论》.20第一章预备知识第一节集合一、概念1、集合——具有某种特定性质的事物组成的集体；例如：①自然数集:；②整数集；③有理数集:；④实数集:；⑤复数集:；⑥维欧氏空间:.⑦；,.2、元素——组成集合的各个事物；、.203、空集——不含有任何元素的集合。4、全集——所研究的所有事物组成的集合。二、集合分类1、有限集——仅含有限多个元素的集合或空集；2、无限集——含有无限多个元素的集合；可数集——能与自然数集建立1-1对应

6、关系的集合,用表示所有可数集组成的集合；不可数集——无限集中不能与自然数集建立1-1对应关系的集合。注：有限集与可数集统称为至多可数集.例如：、、等.下面证明是不可数集.证明:假设是可数集，那么，而，，20……，…….令，其中为中非的自然数，显然,于是.矛盾，说明是不可数集.三、集合关系与运算1、子集——；2、相等——；3、交集——,简记为；.4、并集——；若,简记为；.205、差集——；6、余集——，其中为全集。显然：.7、极限——(1)、若，称单调不减,记作，并定义；(2)、若，称单调不增,记作，并定义.8、迪卡尔

7、积——.四、性质1、定理：(1)；(2).推广：(1)；(2).20证明：先证(1).，有.(1)得证.再证(2)..(2)得证.2、.证明：先证.，有,.再证..3、.[显然]4、.证明：仅证即可...20五、代数及波雷尔集1、代数——设为集的某些子集构成的集类，满足：、；、若，则；、若，,则，则称为代数。2、代数性质:[任何交、并、差均封闭且含空集]⑴、.证明：⑵、若，,则，，.证明：,,.20⑶、若，则.证明：.⑷、设为集的某些子集构成的非空集类,那么必存代数.满足：①;②代数，若，则.称为包含的最小代数，亦称为

8、由生成的代数.证明：显然是包含的代数，令：，显然满足①②，下面证明是代数.，；2),,,;3)，,所以是代数.证毕.作业：设,,求.3、波雷尔集⑴、一维波雷尔集类20,.例如：①，②，③.[留作练习]说明：常见的数的集合均为波雷尔集.⑵、维波雷尔集类，.其中：.六、可测集1、中的区间：,并定义.2、外测度:设集合,定义的外测度为：