第1章 随机过程预备知识

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1、第1章预备知识学习要求•不仅是掌握知识，更重要的是掌握思想•学会把抽象的概率和实际模型结合起来2012-9-202学习重点1.用随机变量表示事件及其分解——基本理论2.全概率公式——基本技巧3.数学期望和条件数学期望——基本概念2012-9-203概率空间随机试验随机事件与概率要点：•在相同条件下，试验可重复进行；•试验的一切结果是预先可以明确的，但每次试验前无法预先断言究竟会出现哪个结果。2012-9-204样本点对于随机试验E，以ω表示它的一个可能出现的试验结果，称ω为E的一个样本点。样本空间样本点的全体称为样本空间，用Ω表示。Ω＝{ω}数学术语：

2、空间是指一种具有特殊性质及一些额外结构的集合集合：具有某种特殊性质的个体的聚合2012-9-205关于可数和不可数•集合的映射：单射、满射和双射原像集像集单射（不同的原f像具有不同的像）fa12fa2012-9-206满射（每一个像都有原像）原像集像集fbast,,..bfa2012-9-207双射（既是单射，又是满射）原像集像集f从直觉上承认能建立双射关系的两个集合，其所含元素的“个数”一样多。2012-9-208可数和不可数的定义•凡是能和自然数集合或者自然数集合的一个子集建立双射关系的集合称为可数集合；否则称为不可数集合。•可

3、数和不可数是人类认识“无穷”所产生的概念，是对无穷的分类。•已经证明连续的区间，和实数集等都是不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等2012-9-209对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立•对于自然数集N1,2,3,4,5,，偶数集合是一个子集E2,4,6,，但我们将中的Nn和E中的2n建立对应关系，就发现这是一个双射。•希尔伯特旅馆(自然数旅馆)的“故事”2012-9-2010无穷大的趣闻——三次数学危机•第一次危机：无理数的发现（正方形的对角线）•第二次危机：微积分中的无穷小量（确定无穷小是运动的量，无限趋于零

4、但不等于零）2012-9-2011第三次数学危机•罗素悖论Axissetxx,ifAAA,thenA;ifAAA,thenA.•数学中的矛盾既然是固有的，它的激烈冲突——危机就不可避免。危机的解决给数学带来了许多新认识、新内容，有时也带来了革命性的变化。2012-9-2012去掉不确定的元素随机事件粗略地说，样本空间Ω的子集就是随机事件，用大写英文字母A、B、C等来表示。事件的关系与运算2012-9-2013事件序列{,1An}n若AA,称之为单调不减序列。nn1AAlimnnnn1若AA,称之为单调不增序列。nn

5、1AAlimnnnn12012-9-2014示性函数1,AIA()是最简单的随机变量0,A事件{:I()1}AA用随机变量来表示事件事件{:I()0}AA2012-9-2015用示性函数的关系及运算来表示相关事件的关系及运算min(a,b)ab,取下端max(a,b)ab,取上端I()I()I()ABABI()I()I()ABAB若AB,则I()I()－I()A－BABABI()I()ABABI()I()，A

6、B2012-9-2016公理化定义集类粗略地说，由的子集作为元素构成的的集合称为集类。{,}是最简单的集类。2012-9-20172012-9-2018设（，F）为可测空间,映射P：FR，AP（A）满足(1)AF，0P（A）1(2)P（）=1(3)PAiP(Ai),(AiAj,ij)i1i1称P是可测空间(,F)上的概率测度，简称概率。称(,F,P)为概率空间，称F为事件域。若AF，称A为随机事件，P(A)为事件A的概率。19概率空间(Ω,F,P)Ω：集合，样本空间F：集类，代数σ-P：完

7、全可加的集函数，概率AF：的元素，事件P(A)：事件的概率2012-9-2020•集函数是测度论中定义的概念•设F是Ω上的非空集合类。若对于每一个A∈F,都有一个实数或者±∞之一与之对应，记为P(A)，且至少有一个A∈F,使得P(A)取有限值，称P(A)为定义在F上的集函数。概率是满足1）非负性；2）归一性；3）可列可加性；的集函数。2012-9-20211.古典概型A(A)A中的样本点数目P(A)()中的样本点数目隐含了等可能条件2.几何概型A点集的面积P(A)点集的面积隐含了等可能条件2012-9-2022显然有＝

8、...，P()P(),k1概率的性质由概率非负性即得1.P()02.P(A