随机过程及应用：预备知识：特征函数.ppt

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1、一．特征函数的定义及例子设X,Y是实随机变量,复随机变量Z=X+jY的数学期望定义为特别预备知识5特征函数注1）costx和sintx均为有界函数,故总存在.2)是实变量t的函数.X是实随机变量求随机变量函数的数学期望定义5.1设X是定义在(Ω,F,P)上的随机变量,称为X的特征函数.关于X的分布函数的富里埃-司蒂阶变换当X是连续型随机变量,则当X是离散型随机变量,则Ex.1单点分布Ex.2两点分布Ex.3二项分布Ex.4泊松分布Ex.5指数分布Ex.6均匀分布Ex.7正态分布N(a,σ2)特别对正态分布N(0,1)，有证明二．特征函数性质性质5.1随机变量X的特征函数满足

2、：证许瓦茨不等式(6.1.3)性质5.2随机变量X的特征函数为则Y=aX+b的特征函数是a,b是常数.Ex.8设η～N(a,σ2),求其特征函数.解设X～N(0,1),有Y=σX+a,且证性质5.3随机变量X的特征函数在R上一致连续.使时,对t一致地有一般，性质5.4特征函数是非负定的函数，即对任意正整数n,任意复数z1,z2,…,zn,及证注以上性质中一致连续性，非负定性是本质性的.定理5.1(波赫纳—辛钦)函数为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续,非负定且定理5.2若随机变量X的n阶矩存在,则X的特征函数的k阶导数存在,且下定理给出了特征函数与矩的关系注逆不真.证仅

3、证连续型情形设X的概率密度为f(x)，有令t=0，得故Ex.9随机变量X服从正态分布解故同理，可进一步计算随机变量X的k阶中心矩三．反演公式及惟一性定理由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数：问题能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？？从而定理5.3（反演公式）设随机变量X的分布函数和特征函数分别为F(x)和则对F(x)的任意连续点x1,x2,（x1

4、，概率密度与特征函数互为富氏变换.则推论3随机变量X是离散型的,其分布律为反演公式证设有Ex.9随机变量X在[]上服从均匀分布,Y=cosX,利用特征函数求Y的概率密度.解X的概率密度为Y的特征函数为令根据特征函数与分布函数的惟一性定理,知随机变量Y的概率密度为Ex.10已知随机变量X的特征函数为试求X的概率分布.解因根据特征函数的惟一性定理,知随机变量X的分布律为X-202p1/41/21/4四．多维随机变量的特征函数定义5.4二维随机变量(X,Y)的特征函数定义为连续型注多维随机变量的特征函数定义见P247.离散型例(X,Y)服从二维正态分布则其特征函数为性质5.5二维

5、随机变量(X,Y)的特征函数满足以下性质1.对任意t1,t2∈R,有2.3.在实平面上一致连续.4.性质5.6设二维随机变量(X,Y)的特征函数为则1.随机变量的特征函数为2.Z=aX+bY+c的特征函数为特别有证Ex.11设(X1,X2)服从二维正态分布,且E(Xk)=k,k=1,2.记求Y=X1+X2的特征函数.解故Y=X1+X2～N(3,12).性质5.7分布函数　　与恒等的充分必要条件是它们的特征函数与恒等..定理5.3随机向量相互独立的充要条件是其特征函数满足证明参见P249.在上式中特别取ti=t，i=1,2,…,n,有推论1设随机变量相互独立,令,则Y的特征函

6、数为注意：定理5.3与推论1的区别？练习：X~U(0,1),P{Y=0}=P{Y=1}=1/2,X,Y相互独立，试确定X+Y的分布？Ex.12随机变量Y～B(n,p),写出其特征函数.解二项分布随机变量Y可表示为且Xk～B(1,p),(k=1,2,…,n)相互独立,故Y的特征函数为推论2若随机变量相互独立同分布,则的特征函数为Ex.13若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1),证明也服从N(0,1)分布.证Xk的特征函数为,则从而由惟一性定理知,Y～N(0,1).