应用随机过程教案 第1章 预备知识

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1、第一章预备知识第一节概率空间定义1设Ω是一个样本空间（或任何一个集合），F是Ω的某些子集组成的集合族。如果满足（1）Ω∈F；C（2）若A∈F，则A=ΩA∈F；（3）若An∈F(n=1,2,…)，则An∈F，n1则称F为Ω上的一个σ代数，（Ω，F）称为可测空间。性质1如果是Ω上的一个σ代数，则（1）ϕ∈F；（2）若An∈F(n=1,2,…)，则An∈F。n1例1设Ω={1,2,3,4,5,6},F={ϕ,{1,2},{3,4,5,6},Ω}，则F是Ω上的一个σ代数。例2设Ω={1,2,3,4,5,6}，F={ϕ,{1},{2}，{

2、3}，{1,2},{1,3},{2，3}，{1,2,3},{4,5,6},{1,4,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6},{2,3,4,5,6},Ω}，则F是Ω上的一个σ代数。定义2以Ω的某些子集为元素的集合称为（Ω上的）集类。对于Ω上的任一非空集类C，存在包含C的最小σ代数，称为由C生成的最小σ代数。例3设Ω={1,2,3,4,5,6},C={{1,2}}，则F={ϕ,{1,2},{3,4,5,6},Ω}是由C生成的σ代数。例4设Ω={1,2,3,4,5,6},C={{1,2}，{

3、1,3}}，则F={ϕ,{1},{2}，{3}，{1,2},{1,3},{2，3}，{1,2,3},{4,5,6},{1,4,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},1{1,2,4,5,6},{1,3,4,5,6},{2,3,4,5,6},Ω}是由C生成的最小σ代数。定义3设{A,n1,2,}为一集合序列。令nlimsupAnAk，liminfAnAknnn1knn1kn分别称其为{A}的上极限和下极限（上极限有时也记作{A,i.o.}）显然有nnlimsupA{

4、任意nN,存在kn,

5、使A}{

6、属于无穷多个A}nknnliminfA{

7、存在nN,任意kn,有A}{

8、至多不属于有限多个A}nknn从而恒有liminfAlimsupA。nnnn若liminfAlimsupA，则称{A}的极限存在，并用limA表示。nnnnnnn例5设{A,n1,2,}是一集合序列，其中{A}nn1111A2n-1，1，A2n，22n12n12n2n1则liminfA(0,1)，limsupA(0,2).nnnn若对每个n，有AA

9、（或AA），则称为单调增（单调减）序列。显然nn1nn1对于单调集合序列{A}的极限存在，且对于单调增集合序列{A}，若AlimA，nnnn则AAn，记AnA；对于单调减集合序列{An}，AlimAn，则AAn，nn1n1记AA。n11例6设{An,n1,2,}是一集合序列，其中An，1，则AnA(0,1).nn定义4P(·)是定义在F上的实值函数。如果2（1）P(Ω)=1；（2）任意A∈F，0≤P(A)≤1；（3）对两两互不相容事件A1，A2，…(即当i≠j时，Ai∩Aj=ϕ)，

10、有P(Ai)P(Ai)i1i1则称P是（Ω，F）上的概率，（Ω,F,P）称为概率空间，F中的元素称为事件，P(A)称为事件A的概率。事件的概率的性质（1）若A,B∈F，则P(A∪B)+P(A∩B)=P(A)+P(B)。（2）若A,B∈F，且AB，则P(B-A)=P(B)-P(A)。（3）若A,B∈F，且AB，则P(A)≤P(B)。（4）若An∈F，n≥1，则P(An)P(An)。n1n1（5）An∈F，且，则AnA，则P(A)limP(An)。n（6）An∈F，且，则AnA，则P(A)limP(An)。

11、n3第二节随机变量与分布函数1.随机变量与分布函数的概念与性质定义1设（Ω,F,P）是概率空间，X是定义在Ω上取值于实数R的函数，如果任意x∈R，{ω:X(ω)≤x}∈F，则称X是F上的随机变量，简称随机变量。函数F(X)=P{ω:X(ω)≤x},-∞

12、P{X=x},k=1,2,…kk其分布函数为F(x)pkP{Xxk}xkxxkx连续型随机变量X的分布用概率密度f(x)描述，其分布函数为：xF(x)