第一章 模糊数学预备知识

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1、第一章预备知识一、集合二、关系三、映射与代数系统五、一些特殊格四、格一、集合1.集合的有关概念相等:空集:不含任何元素的集合,幂集:X的所有子集的集合称为X的幂集,记为P(X)子集:真子集:2.集合的运算(set-theoreticoperations)例如：表“或”表“且”表“非”３.集合的运算的性质(1)幂等律(idempotence)(2)交换律(commutativity)(3)结合律(associativity)(4)吸收律(absorptionlaws)(5)分配律(distribu

2、tivity)(6)存在最大最小元(7)复原律(involution)(8)DeMorgan律（对偶律）(9)补余律(complementation)28页推广：规定：分配律、对偶律等可推广5.集合的特征函数(characteristicfunctionofaset)证：类似可得：证：推广：二、关系(Relations)1.卡氏积(Cartesianproduct)称为例2.1例2.2R表示实数集，二、关系的概念注1.关系就是集合，注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。例2.3例2.4特殊关系

3、：（1）空关系：（2）全关系：（3）恒等关系：三、关系的运算例2.5合成的实际意义。四、特征关系称为R的特征关系。5.等价关系与划分（EquivalencyrelationsandPartition)则称是R一个X上的等价关系。例2.6等价类：定理：若R是X上的等价关系，则：证明:(1)显然。由等价关系所确定的等价类的全体构成X的一个划分六、有限论域上的关系将R写成矩阵：行数—X中元素个数列数—Y中元素个数对例2.3,各种运算可在矩阵中进行三、映射与代数系统1.映射(mapping)记号：例3.

4、1例3.2象与原象:例如:2.特殊映射单射(injection)：满射(surjection)：双射(bijection)：注1.单射或满射的概念与集合有关.例如:注2.双射为1-1对应.例3.3证明:2.代数系统(algebraicsystems)运算:例如：代数系统:例3.4类似地,3.代数系统的同态(homomorphism)与同构(isomorphism)例3.5证明：由例3.3知:f为双射.？类似：集合与X到{0,1}的映射在数学上可视为相同的.四、格1.偏序集(partiallyor

5、deredset或poset)(1)自反性：(2)反对称性：(3)传递性：例如：例4.12.偏序集中的界例如:证：例4.2例4.3注一个集合的上、下界可能有多个，也可能不存在.3.上、下确界性质：证明：另一方面，4.格(Lattices)均存在，例如：定理4.1则有：(1)幂等律：(2)交换律：(3)结合律：(4)吸收律：证明：(1)(2)是显然的定理4.2证明：反过来，类似可证：两者之间联系：五、一些特殊的格1.分配格(distributivelattice):满足下列分配律2.有界格(bou

6、ndedlattice)3.完全格(completelattice)4.完全分配格(completelydistributivelattice)5.软代数(softalgebra)6.布尔代数(Booleanalgebra)例5.1集合性质例5.2例5.3证明：不可能.注意:引理在一个布尔代数中，证明：定理5.3布尔代数一定是软代数。证明：=1类似：由引理知：同理可得：7.优软代数例如：([0,1],∨,∧,c)是优软代数，非布尔代数小结格：幂等、交换、结合、吸收软代数：格+有界+分配+复原+D

7、eMorgan律优软代数：软代数+完全分配性+稠密性(P(X),∪,∩,c)是布尔代数，非优软代数布尔代数：软代数+补余律