模糊数学 第一章---预备知识ppt课件.ppt

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1、第一章预备知识一、集合二、关系三、映射与代数系统五、一些特殊格四、格一、集合1.集合的有关概念相等:空集:不含任何元素的集合,幂集:X的所有子集的集合称为X的幂集,记为P(X)子集:真子集:2.集合的运算(set-theoreticoperations)例如：表“或”表“且”表“非”３.集合的运算的性质(1)幂等律(idempotence)(2)交换律(commutativity)(3)结合律(associativity)(4)吸收律(absorptionlaws)(5)分配律(distributivity)(6)存在最大最小元(7)复原律(involution)

2、(8)DeMorgan律（对偶律）(9)补余律(complementation)28页推广：规定：分配律、对偶律等可推广4.集合的特征函数(characteristicfunctionofaset)证：类似可得：证：推广：二、关系(Relations)1.卡氏积(Cartesianproduct)称为例2.1例2.2R表示实数集，2.关系的概念注从X到Y的关系与从Y到X关系不同。例2.3例2.4特殊关系：（1）空关系：（2）全关系：（3）恒等关系：3.关系的运算例2.5合成的实际意义。特别地,4.特征关系称为R的特征关系。5.等价关系与划分（Equivalence

3、RelationandPartition)则称R是一个X上的等价关系。例2.6例2.9设A是咱们班的所有学生的集合。考虑A上的关系R，R由所有的对(x,y)构成，其中x和y从同一大学毕业。给定学生x，由与x在同一大学毕业的所有学生构成的集合是A的子集，形成关系R的一个等价类。例2.752张扑克牌中的同花关系；同点关系是等价关系.例2.8平面上三角形集合中，三角形的相似关系是等价关系；上海市的居民的集合中，住在同一区的关系也是等价关系。等价类：定理1：若R是X上的等价关系，则：证明:(1)显然。由等价关系所确定的等价类的全体构成X的一个划分(partition)等价

4、类与划分集合X的划分是一族X的不相交的非空子集，且X就是它们的并。设R是集合X上的等价关系，则R的所有等价类的并集就是X，且由定理1知道，这些等价类或是相等的或是不相交的。等价类构成X的划分，因为它们将X分成不相交的子集。例2.10Ａ＝｛０，１，２，３，４，５｝.Ｒ＝｛（０，０），（１，１），（２，２），（３，３），（１，２），（１，３），（２，１），（２，３），（３，１），（３，２），（４，４），（４，５），（５，４），（５，５）｝.Ｒ是等价关系，用关系图表示。二元关系R是自反的，对称的，传递的，且把Ａ分成三个等价类，Ａ＝｛｛０｝，｛１，２，３｝，｛４，５｝｝6

5、.有限论域上的关系将R写成矩阵：行数—X中元素个数列数—Y中元素个数对例2.3,各种运算可在矩阵中进行三、映射与代数系统1.映射(mapping)记号：例3.1例3.2象与原象:例如:2.映射的合成3.特殊映射单射(injection)：满射(surjection)：双射(bijection)：注1.单射或满射的概念与集合有关.例如:注2.双射为1-1对应.例3.3证明:4.代数系统(algebraicsystems)运算:例如：代数系统:例3.4类似地,5.代数系统的同态(homomorphism)与同构(isomorphism)例3.5证明：由例3.3知:f为

6、双射.？类似：集合与X到{0,1}的映射在数学上可视为相同的.四、格1.偏序集(partiallyorderedset或poset)(1)自反性：(2)反对称性：(3)传递性：例如：例4.12.偏序集中的界例如:证：例4.2例4.3注:一个集合的上、下界可能有多个，也可能不存在.3.上、下确界性质：证明：另一方面，4.格(Lattices)均存在，例如：定理4.1则有：(1)幂等律：(2)交换律：(3)结合律：(4)吸收律：证明：(1)(2)是显然的定理4.2证明：反过来，类似可证：两者之间联系：五、一些特殊的格1.分配格(distributivelattice)

7、:满足下列分配律2.有界格(boundedlattice)3.完全格(completelattice)4.完全分配格(completelydistributivelattice)5.软代数(softalgebra)6.布尔代数(Booleanalgebra)例5.1集合性质例5.2例5.3证明：不可能.注意:引理5.1在一个布尔代数中，证明：定理5.3布尔代数一定是软代数。证明：=1类似：由引理知：同理可得：7.优软代数(superiorsoftalgebra)例5.4([0,1],∨,∧,c)是优软代数，非布尔代数格的相关内容小结格：幂等、交换、结合、吸收软代数

8、：格+有界