线性代数第3章行列式及其应用

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1、第三章行列式及其应用3.1行列式的定义3.2行列式的性质3.3行列式的应用学习要点：1.了解行列式的定义及其性质。2.会运用行列式的性质求行列式的值。3.重点掌握行列式在理论推导中的应用，主要有以下三个定理：（1）行列式展式定理；（2）克莱姆法则；（3）行列式乘法定理。3.1行列式的定义引例3.1用消元法解二元线性方程组解第一个方程乘以a22，第二个方程乘以a12，然后两方程相减得类似可得当时,得方程组的解我们引进二阶行列式的概念,即定义那么,方程组的解可整齐地表示为二阶行列式又称为二阶方阵的行列式类似地，如

2、果定义三阶行列式记作含有三个未知量的线性方程组当系数矩阵的行列式时，通过计算可知其解可整齐地表示为问题使得方程组的解可整齐地表示为设n×n的线性方程组如何定义n阶行列式（这里假设分母不为零）在中划掉第i行和第j列元素而剩下的元素按原来相对位置不变所构成的低一阶的行列式，称为(i,j)元素的余子式，记为Mij,称Aij=(-1)i+jMij为(i,j)元素的代数余子式。例如n阶行列式的值定义如下：定义3.1（行列式的递归定义）当n=1时，=a11;当n≥2时，假设对n-1阶行列式已有定义，则（上式又称按第一行展

3、开）（3.1）由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算计算下三角行列式按第1行展开按第1行展开解根据行列式的定义例3.1特别地，作业P551（1）（3）对于方阵，设Aij表示元素aij的代数余子式，称矩阵为A的伴随矩阵。3.2行列式的性质定义3.2（伴随矩阵的定义）定理3.1（行列式展开定理）即行列式等于其任一行（列）元素与其对应的代数余子式乘积之和（亦即行列式可按任一行或任一列展开）；任一行（列）元素与另一行（列）元素所对应的代数余子式乘积之和为零。即按第1行展开例3.2验证行列式的展开定理解按第3行展开按

4、第3列展开再验证一下错列或错行展开是否为零?下一题是常见题型注意设，求D的第3列元素的代数余子式之和。根据行列式的展开定理可得从而，即，练习已知计算例3.3解下一题为极少数的列展开利用展开定理得到计算行列式的基本方法Ⅰ“降阶法”，即利用行列式展开定理,可将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算。根据行列式的展开定理，按第一列展开得计算上三角行列式例3.4解例如性质3.1如果行列式有一行（列）的元素为零，则该行列式的值等于零。性质3.2若行列式的某一行（列）的所有元素均为两个数之和，则该行列式等于相应的两

5、个行列式的和。例如性质3.3设A是一个方阵，相应于方阵的三种初等行（列）变换，行列式也有相应的三种行（列）变换。一次变换后，其值会发生怎样的变化呢？(1)设，则(2)设，则(3)设，则推论3.1如果行列式中有两行（列）的元素相同，则该行列式的值为零。例如性质3.4如果行列式中的某行元素（列）有公因子，则该公因子可提到行列式的外面。例如推论3.2对于n阶方阵A，则是一个数。推论3.3如果行列式中有两行（列）元素对应成比例，则其行列式的值为零。例如利用行列式的性质得到计算行列式的基本方法Ⅱ“化三角形法”。其基本思

6、路是：通过行列式的行（列）变换将行列式化简为阶梯形行列式，再利用三角形行列式的值等于其对角线上元素的积计算其结果。解只用ri+krj这种变换，例3.5把行列式化为三角形，然后计算行列式D的值。只用ri+krj变换或只用ci+kcj变换一定能把行列式化为上(下)三角形,行列式的值不变。说明1行列式的性质凡是对行成立的，对列也成立，反之亦然。说明2计算行列式的方法很多，技巧也很强，重点掌握降阶法和化三角形法。定理3.2矩阵A的行列式与其转置矩阵AT的行列式的值相等，即计算行列式将行列式第2、3、4列加到第一列,得

7、例3.6解特征1：对于所有行（列）元素相加后相等的行列式，可把第2行至n行加到第一行（列），提取公因子后在简化计算。将行列式第2,3,…,n列加到第一列,得计算n阶行列式例3.7解计算n阶行列式利用初等列变换可将该行列式化为三角形行列式特征2：第一行，第一列及对角线元素除外，其余元素全为零的行列式称为爪型行列式。例3.8解计算范德蒙德(Vandermonde)行列式从最后一行开始，每行减去上一行的an倍。特征3：范德蒙德(Vandermonde)行列式的计算过程及结论。例3.9解按最后一列展开定理3.3（行列

8、式的乘法定理）只用第三种初等行变换可把A化为上三角矩阵证明设A，B是n阶方阵，则注当A，B都是n阶方阵时，一定有只用第三种初等列变换可把B化为上三角矩阵即存在第三种初等矩阵使得并有因此设A是奇数阶方阵，且证明例3.10证明解例3.11，计算作业P642（2）（3）P655（1）3.3行列式的应用行列式的应用主要体现在理论推导。方阵A可逆的充分必要条件是，时，其逆矩阵，其中A*为A的伴随矩阵。定理3.