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《线性代数 第1.3.4行列式的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第1.3.4节:行列式的应用一克拉默法则本小节以行列式为工具,研究解线性方程组求解的问题,设n个未知量n个方程的线性方程组为:(1.15)8/12/20211(共17页)a11a22a1na21a22a2nan1an2annD=(1.17)它的系数构成的行列式D称为方程组(1.15)的系数行列式.8/12/20212(共17页)定理1.7如果方程组(1.15)的系数行列式不为零,则该方程组有惟一解:(1.18)这里Dj(j=1,2,…,n)是把方程组的常数项b1,b2,…,bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式.这个定理称为:克拉默(B.Cramer)法则.a11a22b1
2、a1na21a22b2a2nan1an2bnann第j列元Dj=8/12/20213(共17页)例解线性方程组解:系数行列式由于系数行列式不为0,所以可以用克拉默法则,方程组有惟一解.8/12/20214(共17页)推论若方程组中常数项全为零（齐次线性方程组），且D不等于零，则该方程组有唯一零解。例:K为何值时，下列方程组只有零解？只有零解8/12/20215(共17页)(二)行列式求逆矩阵前面给出了逆矩阵的概念以及用行初等变换求逆矩阵的方法,利用行列式还可给出判明可逆阵的一个简单条件,并给出逆阵的一个公式.定义1.11对任意n阶方阵A=(aij),则称由detA(行列式A)中每个元的代
3、数余子式所构成的如下方阵:A11A21An1A12A22An2A1nA2nAnn为A的伴随矩阵(adjugatematrix),记:A*adjA=(1.22)8/12/20216(共17页)定理1.8设A是n阶矩阵,A*为其转置伴随矩阵,则有:AA*=A*A=
4、A
5、I(1.23)定理1.9n阶方阵A为可逆阵的充分必要条件是detA≠0,此时有方阵A的逆阵公式:(1.24)8/12/20217(共17页)所以矩阵A是可逆.解:例:判断下列矩阵是否可逆?若可逆,求其逆矩阵.8/12/20218(共17页)下面求A-1.解:所以8/12/20219(共17页)解:所以所以8/12/202110
6、(共17页)求逆矩阵:(1)初等行变换法;(2)利用行列式与转置伴随阵的方法.与克拉默法则一样,逆方阵也可以用于讨论线性方程组解的存在惟一性.(系数矩阵A是方阵)AX=bA-1AX=A-1bIX=A-1bX=A-1b由于逆方阵的存在惟一性,上式就是方程组的惟一解.用逆方阵求解线性方程组的方法,可以推广到求解含有未知矩阵的矩阵方程.8/12/202111(共17页)例：设A=B=且AX=B,求矩阵X.分析:因为detA=1,所以A可逆.将AX=B两边同时左乘A-1,得到:A-1AＸ＝A-1B,即：IX=A-1B,X=A-1B先求A-1,计算A中各元的代数余子式：A11=1,A12=5,A1
7、3=-1,A21=0,A22=-3,A23=1,A31=1,A32=7,A33=-2.8/12/202112(共17页)则有：8/12/202113(共17页)练习求以下矩阵的逆矩阵解:8/12/202114(共17页)练习解：由对角矩阵的性质知8/12/202115(共17页)其中都是方阵，称A为分块对角矩阵分块对角阵的一些性质定理1.10设8/12/202116(共17页)则8/12/202117(共17页)例设求解8/12/202118(共17页)行列式的应用G.Cramer法则（系数行列式不为０，方程组有惟一解）．行列式和伴随矩阵与逆矩阵的关系（求逆矩阵的一种方法）小结8/12/
8、202119(共17页)作业P36-371.16(2);1.17;1.258/12/202120(共17页)
