第1章(行列式)线性代数及其应用

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1、第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、工程技术等领域有着极其广泛的应用.本章以三阶行列式为基础，建立了n阶行列式的概念，讨论了n阶行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克拉默法则.第1章行列式n阶行列式行列式的性质行列式按行（列）展开克拉默法则—行列式的一个简单应用Mathematica软件应用第1.1节n阶行列式的定义本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义返回1.二阶与三阶行列式(1)二阶行列式为求得上述方程组的解

2、，可利用加减消元得到：上式中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得。为便于记忆，引进如下记号：称其为二阶行列式.据此，解中的分子可分别记为：例1解二元线性方程组解:方程组未知量的系数所构成的二阶行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为类似地，在利用加减消元法求解三元线性方程组的过程中，如果引进记号称为三阶行列式.则当方程组的系数行列式时，方程组有惟一解其中Dj(j=1,2,3)是把系数行列式D中第j列的元素换成方程组的常数项b1,b2,b3所构成的3级行列式,即上述引进的三阶行列式可由主对角线法则得到，即(2)三阶行列式称为三阶行列式.‘—’三元素乘积取“+”号；‘…’三元素乘积取“-”

3、号。主对角线法例2计算三阶行列式解:由主对角线法，有例3解线性方程组解：系数行列式方程组有唯一解.又于是方程组的解为2.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数,记为(i1i2…i

4、n).排列逆序数的求法:考察排列i1i2…in中每个数的前面有几个数比它大,它的逆序就是几,所有数的逆序的和就是排列的逆序数.=3=2例4(2413)(312)例5(n(n-1)…321)(135…(2n-1)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.3.n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)项数为3

5、！=6推广之，有如下n阶行列式定义定义：n阶行列式是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号的项的和.(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n！个排列求和.例7计算4阶行列式解由行列式定义,和式中仅当例8计算n阶行列式解由行列式定义,和式中仅当例9证明上三角行列式证：由定义和式中,只有当所以上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明定理:n阶行列式D=det(aij)的项可以写为其中i1i2…in和j1j2…

6、jn都是n级排列.或另一定义形式另一定义形式推论:n阶行列式D=det(aij)的值为内容回顾n阶行列式定义：上三角行列式的值第1.2节n阶行列式的性质对多“0”的或是阶数较低(二、三阶)的行列式利用定义计算较为容易,但对一般的、高阶的（n4）行列式而言,直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的.因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算.如果将行列式D的行换为同序数的列，得到的新行列式称为D的转置行列式，记为DT.即若转置行列式定义：性质1行列式与它的转置行列式值相等.（D=DT）解例1计算行列式性质2互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)，行列式的值变号.推论若行列式D的两行（列）

7、完全相同,则D=0.性质3行列式某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，即推论(1)D中一行(列)所有元素为零，则D=0；(2)D的两行(列)对应元素成比例，则D=0.性质4若行列式某一行(列)的所有元素都是两个数的和,则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同.即性质5行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数k