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1、目录1.引言22.行列式的概念22.1排列与逆序22.2n阶行列式的定义22.3行列式的基本性质32.4行列式按行（列）展开定理42.5重要公式与结论52.6范德蒙德行列式的性质63.行列式的若干应用63.1行列式在线性方程组中的一个应用（克拉默法则的应用）63.2行列式在初等代数中的几个应用73.2.1用行列式分解因式83.2.2用行列式证明不等式和恒等式83.3.行列式在解析几何中的几个应用83.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法）83.3.2用行列式表示三角形面积83.3.3用行列式表示直线方程94.范德蒙德行列式的若干应用104.1
2、范德蒙德行列式在行列式计算中的应用104.2范德蒙德行列式在微积分中的应用104.3范德蒙德行列式在向量空间理论中的应用124.4范德蒙德行列式在线性变换理论中的应用.12结论13致谢14I行列式及其应用任兰兰,数学计算机科学学院摘要:行列式是线性代数一个重要的基本工具.本文首先对行列式的相关概念做了介绍,包括行列式的定义,性质,常见公式及结论等,然后通过例题详细介绍了行列式在线性方程组,初等代数以及解析几何中的应用,以及范德蒙行列式在微积分以及向量空间等方面的应用等.文章最后对行列式及其应用做了总结.关键词:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法则TheD
3、eterminantsandTheirApplicationsAbstract:Thedeterminantisoneoftheelementarytoolsinlinearalgebra.Wefirstintroducethecorrespondingconceptionsofthedeterminants,suchasthedefinition,theproperties,theordinaryformulasandconclusions,thenwediscussindetailtheapplicationsofthedeterminantsin
4、linearequations,elementaryalgebra,andanalyticgeometryandsoon,wealsodiscusstheapplicationsoftheVandermondedeterminantincalculusandvectorspace.Finallywesummarizetheadvantagesofthedeterminants.Keywords:Determinant;Vandermondedeterminant;Cramerrule141.引言行列式是研究数学问题的重要工具之一,行列式的运算使问题的解
5、决变得简单,让我们首先来介绍行列式有关的重要概念,定理,公式及其性质.其次我们介绍行列式的若干应用.2.行列式的概念2.1排列与逆序定义1级排列:由个自然数组成的一个无重复的有序数组称为一个级排列,级排列共有个.定义2逆序:在一个级排列中,如果一个较大的数排在一个较小数之前,就称这两个数构成一个逆序,一个排列中逆序的总数,称为这个排列的逆序数.用或表示排列的逆序数.如果排列的逆序数为偶数,则称它为偶排列.如果排列的逆序数为奇数,则称它为奇排列.定义3对称:排列中,交换任意两数与的位置,称为一次对换.对换改变排列的奇偶性.任何一个排列都可经过若干次对换变
6、成自然顺序,并且所作对换的次数与这个排列有相同的奇偶性.例2.1.1求下列排列的逆序数,并确定它们的奇偶性(1);(2);(3)解（1）为奇排列.（2）由于的奇偶性需根据而定,故讨论如下：当时,是偶数;当时,是偶数;当时,是奇数;当时,是奇数.综上所述,当或时,此排列为偶排列;当或时,此排列为奇排列,其中为任意非负整数.（3）该排列中前个数之间不构成逆序,后个数之间也不构成逆序,只有前个数与后个数之间才构成逆序.,奇偶性情况与（2）完全一样.2.2n阶行列式的定义由个元素组成的记号14其中为自然数的一个排列,为这个排列的逆序数,求和符号是对所有排列求和
7、.阶行列式中所含个数叫做的元素,位于第行第列的元素叫做的元.例2.2.1若是五阶行列式中带有正号的一项,求的值?解由行列式的定义知,每一项应取自不同行不同列的五个元素之积,因此只能取,当时，此时应取负号;当时,,且为偶排列.所以.2.3行列式的基本性质（1）行列式与它的转置行列式的值相等,即.（2）互换行列式的任意两行（列）,行列式的值将改变正负号.特别地,如果行列式有两行（或两列）完全相同,则行列式的值等于零.（3）行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号外面.（数乘行列式等于用这个数乘该行列式中的某一行（列）.特别地,若行列式中有一
8、行（或列）元素全为零,则该行列式的值为零.（4）行列式具有分行（列）相加性.（5）行列式中若有
