分块矩阵行列式的性质及其应用

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1、第23卷第6期高等函授学报(自然科学版)Vo1.23No.62O1O年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2O1O·大学教学·分块矩阵行列式的性质及其应用张燕(南京审计学院数学与统计学院江苏南京210029)摘要:利用分块矩阵的乘法,证明了分块矩阵行列式计算的相关性质,并给出其在某些12阶行列式计算中的应用实例。关键词:分块矩阵;行列式计算中图分类号:O151文献标识码:A文章编号:1oO6—7353(2010)06-0031-03在线性代数的学习中,分块矩阵的

2、思想不仅在矩阵运算中起着重要的作用,在很多行列式的两边同时取行列式得:lAcDBl·计算中,如果巧妙利用矩阵分块的思想,也能起到意想不到的效果。尤其是对于某些特殊结构的行lI0—AE:BI—一AD一0CA一。BlI列式的计算问题,利用矩阵分块行列式计算的相则有:lPI—IAI·lD—CABI关结论,可以简单而又迅速地解决。这对于纷繁复(2)同理,若D可逆,则:杂的行列式计算方法提供了一条有效的途径。本FAB]广0]rA—BDqCB1lLCD.Jlltl==:II-文首先总结分块矩阵的行列式计算方面的相关性.D~CE-JL0Dj质,并应用其解

3、决某些行列式计算问题。再两边同时取行列式得:lPI—1相关命题及结论lA—BDC1.IDl。推论l若A,B,C,D均为阶方阵,其中命题1叫设矩阵P=[Ac三]为+竹IAl≠0,且AC—CA,则有:阶矩阵,其中A,D分别为m与阶方阵,B为m×一I一csI。,l矩阵,C为×m矩阵,则:(1)当A可逆时,有lPI—JAc三l===IAI·证明由lAl≠o,则A可逆,由命题1可得:lD—CABl一·[D-c2当D可逆时,有lPJ—l会暑I—lAD—ACAqBI—lAD—CAABl—IA—BD1Cl·IDI。IAD—CBI。证明(1)若A可逆,由分块

4、矩阵的乘法命题2E。可得:广AB]rEm一B]厂Ao](1)设矩阵P一[Ac三]为m+阶矩阵,其LCD儿0E-JLCD—CAB.I中B,C分别为m和阶方阵,O为×m矩阵,A为m×矩阵,则:收稿El期:2010一ii一06.作者简介:作者简介:张燕(1978一),女,江苏省溧阳人,硕士,讲师,研究方向:应用数学31第23卷第6期高等函授学报(自然科学版)V01.23No.62010年12月JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)2O1On维列向量,证明:IPl—I会三l一(

5、一1)lBI·IcI;lA+l=(2)设矩阵P=[詈言]为m+n阶矩阵,其证明因为中B,C分别为m和阶方阵,O为m×,z矩阵,D=为×矩阵,则:[L一1]J[L毒AO1]j.L[一1]J㈣厂l0Al口1IPI—I罢丢f—c一,IBI·fcl。口一+1J‘2证明(1)由分块矩阵的乘法-n-I得:在(1)(2)式两边同时取行列式得:[LlACOB]Jl·●[lL。EmOm×]Jl一—[『-IOBAC]JlI—A1J—Jf㈣两边同时求行列式可得:l。Bl·I盎O1.1乏+『(4)flOl一IO—CfI由(3)(4)可得:』一A;f—IA+印I—即

6、有:IPI.(一1)一IBI.1CI,其中lA1.11+-A~aI—IAI·(1+flrA~a),结论得证。I一从而,推论3设A为n阶可逆矩阵,a与均为nJPI=(一1)lB1.ICl维列向量,则:IE十AI一1十一口。Arl(2)同理,由分块矩阵的乘法可得:证明由命题4,lA+I:IAI(1+E~),则有fAIfA+I一1+一a,+[罢]·[.]=[暑]即lAq(A+)I=IE+A1I一1+~a。同样的,两边~同时求行列式可得:、,I-,●●L2典型例题IPI一(一1)JB1.JCf。A应用上述有关分块矩阵行列式计算的相关结论,我们可以解

7、决一些常见的特殊结构n阶行列推论2若矩口阵1P=:=[罢+阶矩1J式的计算问题,具体如下:阵,其中B,C分别为m和阶方阵,则:IPl—例1Ⅲ计算2n阶行列式D孙l罢言I—c一lBl·IcI。证明由推论1易得。命题3c。设A,B均为阶方阵,证明:z‘’·l会I==:IA+BI·IA—BI。‘’I。证明由分块矩阵的乘法可知:解具体的解过程见文献[4]。例2计算,z阶行列式[[会albb···brA+BO]bⅡ,b···bLBA—B-}D一663⋯6上式两边同时求行列式即得所证结果。命题4设A为阶可逆矩阵,a与均为bbb⋯a第23卷第6期高等函授

8、学报(自然科学版)Vo1.23No.62010年12月JournalofHigherCorrespondenceAEducation(NaturalSciences)2O1O一一

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