Vandermonde行列式及其应用

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1、第18卷第3期荆门职业技术学院学报么刃3年5月Vd.18No.3JoUInalofjin目men毛加l而c己COle罗May公X)3Vandedermon行列式及其应用向世斌,(仙桃职业学院湖北仙桃433《X)aenlloleene,[摘要1vndld行列式是线性代数重要内容之一本文讨论了v助drmod行列式的计算方法并通过实例说明它的一些应用.vennonde;〔关键词」and行列式应用〔中图分类号」015[文献标识码IA[文章编号1108一肠57(2仪双)03一田56一05Vandede行列

2、式是线性代数的重要内容.形如~时alln-压e二l.a,a1!.。。.2一弓肠aa.a‘.人.,且a202,。.,,a:,aZ⋯a的行列式称为Vandermonde行列式记为砍()其特点是每一列为某一个数的不同方幂且从上到下幂指数由零递增至n一1.eonde1Vandrm行列式的计算定理1Z压a二].J弓肠al.J久味al,,-QJ记口1二a‘nal已1a

3、a

4、a咬n(a,)(妻2)l‘泣<呢九j几一11.1al,。,.处an证明(方法l)记左端为Vn()对用归纳法,,l.n二a:aZ二当2时V

5、2()结论成立e1O2.n一假设对1结论成立,,nn一一a;对于从第1行开始至第一行用每一行的()倍加到下一行得‘l1i}。口2一01口3已扭口1l··。。、产,‘a,,a:,““二”aZ(a:一a,)a:a3aa-a,一,一代(⋯’1((l1)aZ“一2aZ一a】a3“一,a,一a:a。2a。-、2、}O()()⋯卜(〔收稿日期」2田3一01一20..一,,,:一m‘1:〔作者简介1向世斌(1957)男湖北仙桃人仙桃职业学院副教授研究方向数学教育E、悦加1432@163.Conl.56,,按第

6、一列展开后提出各列的公因式得到3内1卜anl口2,,,。na,a:a=aZ一a,a3一a,aVn(⋯)()()⋯(n一2。a卜2a由归纳法假设.月卜an-内ln~anl口‘碑‘O2一,,,。Vn,a:a3⋯a=a‘n();工f(a,)(〕3)2‘i‘j鉴nn一2aaa3.内1卜入1卜O2,,,。。alaZa=a:一ala3一ala一a,故Vn(⋯)()()⋯(丹一2aa二aZ一ala3一alanalaja‘n()()⋯()l-I()(多3)2(乙

7、落n(方法2)对n用归纳法.lln=,a,,aZ=二a:一a,,.当2时V2()结论成立口l已2,n一假设对1结论也成立即_1ala:,,a。_,二a。一aZa。_1一a,a3一aZa3一a、a:一al代(⋯)(一a几_1.(a几_1)()⋯()()()作辅助行列式.2a;莎l口q-‘X劣.O1卜户气嵘稣x=f()a

8、口1aln一,J之X,:n一,n一:an_,,二不难看出并且它有1个根ala,’f()是一个(l)次多项式Z”因此f()二一_,.一,,月一lalx-入,k为由于k为xn的系数而由

9、(l)式可知x)(O2()其中待定常数一,,an_,,,a,,‘Vn(aZ”)所以x二一,a,,aZ,,a,x一a,x一aZx-a。f()玖(⋯卜)()()⋯(),。。又砍ala=a(吸几⋯)f()a。一,,a。_:a。一a,a。一aZa。-a。_,la,a,a:⋯.。.乙Vn()玖(a,、尹、J)()()⋯()a,-n〕2n(()1‘i

10、几123二n矛梦1Z分护13n犷lD括一n,,:e分析该行列式中各行元素分别是一个数的不同方幂且方幂次数从左到右递增与Vandrmonde,,,,nn一行列式相似不同的是幂指数从1到而不是从0到1从各行提取公因式可化为Vandermonde行列式.,,,,解从第i行可以提取公因子i(i二12⋯n)有-J且.二,1.‘二l矛犷22,,,nnDn一n3!Vn(l2⋯)nn=n!(2一l3一ln-n一2n一n一l=n!(n一ln一22!l!)()⋯()⋯(()))!()!⋯例2计算下列行列式2a一““

11、a。.a一1)(2)a一nan-l(()“一,a一“一,a-)(2)a((D一a一2a一n,:n+e分析该行列式与1阶Vandermond行列式不同的是幂指数从上到下递减利用行列式的性质,,,将幂指数调换为从上到下递增则可化为Vandermonde行列式计算为了使调换次数为偶数将列也作同样的调换.n,n一,,解将行列式的第1行与第行调换第2行与第1行调换依次类推直到将行列式的幂指数,,t;然后将行列式的第1列与第n2列与化为从上到下递增不妨假定这样共进行了次调换列调换第第,,,,n一1列调,因换