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1、第23卷第2期（2007）河西学院学报Vol.23No.2（2007）vandermonde行列式的推广式及其应用纪青（漳州医学护理职业学院，福建漳州363000）摘要：文章将行列式VP()作为广义的vandermonde行列式，将其定义为vandermonde行列式的推广式，1i并给出了它的计算公式和若干应用实例．最后给出了更一般的推广式及其计算公式．2关键词：vandermonde行列式；vandermonde行列式的推广式；应用举例中图分类号：O151.22文献标识码：A文章编号：1672－0520（
2、2007）02－0012－05vandermonde行列式在计算与化简中有着重要的应用，而我们每次遇到可化成vandermonde行列式的行列式VP()i（见定义）时都要重复进行同样的化简过程，很不方便，故本文将行列式1VP()作为广义的vandermonde行列式，推导了i它的计算公式并给出了若干应用实例．另外提出了更一般的推广式，并给出了它的计算公式．21预备知识[2]引理1vandermonde行列式11?1xx?x01n−1Vx==∏()−x.ij????01≤<≤−jinnn−−11n−1xx?x
3、01n−1设11?11xxx?x01nn−1V=?????rnn−11−−nn11−xxx?x01nn−1rrrrxxx?x01nn−1[2]是文献[1]中定理的行列式的转置，根据行列式与它的转置行列式相等1得：[1]引理2⎧0,0≤rn≤−1,⎪V=⎨rjjjj⎪∏−⋅∑()xxx01x1?xnn−x,r≥n⋅ij01nn−1⎩0≤<≤jinjj01+++?jnn−1+=−jrn———————————————收稿日期：2006-04-11作者简介：纪青（1968—），女，广东揭阳人，讲师，研究方向：基础数
4、学教学与研究．-12-纪青：vandermonde行列式的推广式及其应用2主要结论ii−−12i定义1设n是正整数，令Pxaxaxiiiii()=++++01ax2axa,ii−1i,其中aii0≠=0,(0,1,2,?,n−1),对x任取n个数,x01,,,xx?n−1称px()px()?px()00010n−1px()px()?px()10111n−1VP()=i????pxpx()()?px()nn−−1011n−1n−1为广义的vandermonde行列式，为区别于其它广义的vandermonde行
5、列式，特别称之为vandermonde1行列式的推广式．事实上，若对定义中的Pxi()，令ai0=1；且当j≠0时，令aij,=0,in=0,1,2,?,−1.这时Vp()i化成V，这是n阶的vandermonde列式，也就是说Vp()是vandermonde行列式的一个推广，是一个广义的vandermonde行列式．i定理1对于vandermonde行列式的推广式，有：1n−1VP()ij=⋅∏a0∏−(xxij).01≤<≤−jinj=0证明由ii−−12i可知Pxaxax()=+++ax??++≠=a
6、xaa(0,0,1,2,,1),in−p00()xa=0;iiii012i,ii−1ii021nn−−2pxaxapxaxaxa()=+;()=++;;??pxax()=+ax++axa+.110112202122nn−1−1,0n−1,1n−−1,n2n−−1,n1将pxii()(0,1,2,,1)=−?n中的x依次换为x012,,,,,xx?xn−1然后代入原行列式得：aa?a000000axa++axa?ax+a100111011110n−111222VP()=++axaxaaxaxa++?ax++a
7、xa,i200210222012112220nn−−121122????nn−−11n−1nj−−11nj−−nj−−1∑∑axnj−−1,0axnj1,1?∑axnjn−1,−1jj==00j=0akk−1,−1将上述行列式的第k行(2kn=,3,,)?减去第行的1倍，消去各行中的与第行成比例的所有分行，接着将新1aa00kk−1,−2行列式的第k行(3kn=,4,,)?减去第2行的倍消去各行中的与第,2行成比例的所有分行，依次类推，最后a10上述行列式化为：aa?a000000axax?axn−1n−1
8、10010110n−1VP()i==∏aVj0⋅=⋅∏axji0∏−()xj.证毕．????01≤<≤−jinj=0j=0nn−−11n−1axax?axnn−−1,001,01n−1,0n−13vandermonde1行列式推广式的应用3.1在多项式理论中的应用f()xa=++xaxkk12??+axakkijijkn,≠≠≠∈0,,,,1,2,,,nf()x例1多项式12niij{}则不可能有-13-河西学院
