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1、浅析Vandermonde行列式的相关性质及其应用毕业论文目录第一章引言………………………………………………1第二章预备知识……………………………………………22.1定义………………………………………………22.2行列式的性质……………………………………22.3行列式计算中的几种基本方法……………………32.3.1三角形法……………………………………………32.3.2加边法或升级法……………………………………42.3.3递推法或数学归纳法………………………………5第三章行列式的一种特殊类型Vandermonde行列式……63.1Vandermonde行列式
2、的证法………………………63.2Vandermonde行列式的性质………………………73.2.1推广的性质定理：行列式………………………73.2.2一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件…93.2.3Vandermonde行列式的偏导数……………………93.3Vandermonde行列式的翻转与变形………………113.4Vandermonde行列式的应用………………………12第四章小结…………………………………………………17第五章参考文献……………………………………………1821第六章谢辞………………………………………………19引言在中学数学
3、和解析几何里，我们学习过两个未知量和三个未知量的线性方程组及其解法。但是在数学研究和实际问题的解决过程中，经常会遇到由多个未知量而组成的多个方程组，并且未知量的个数和方程组的个数也未必相等。为了解决这些具体的问题，经过一代代数学家的不懈努力，终于由莱布尼茨和日本数学家关孝和分别发明了行列式。经过一段时间的发展，法国数学家范德蒙(A-T.Vandermonde,1735-1796)对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述，即把行列式理论与线性方程组求解相分离。后来又经过许多大数学家的不断发展完善，如柯西、詹姆士·西尔维斯特(J.Sylvester,1814-1894
4、)、雅可比(J.Jacobi,1804-1851)等人都对行列式的进步起到了巨大的推动作用。美国当代数学家BernardKolman对行列式又做了进一步的解析与应用。数学家ChongyingDong,Fu-anLi等人在Vandermonde行列式方面的最新研究也被收录到RecentDevelopmentsinAlgebraandRelatedAreas一书中。本文通过在行列式基本性质了解的基础上，进一步探讨一种特殊的行列式——Vandermonde行列式的相关性质及其应用。212预备知识为了深入学习Vandermonde行列式的性质及其应用，我们有必要回
5、顾一下行列式的相关知识。2.1定义1行列式是由个元素（数）(=1,2,…,)排成行列并写成(1)的形式，它表示所有符合以下条件的项的代数和： ①每项是个元素的乘积，这个元素是从(1)中每行取一个元素、每列取一个元素组成的，可记为,式中是1,2,…,的一个排列。 ②每项应带正号或负号，以1,2,…,的顺序为标准来比较排列()的逆序数是偶或奇而决定。例如三阶行列式中的项排列(231)有2个逆序，即2在1之前，3在1之前,所以应带正号；而中(213)的逆序为1，因为这时只有2在1之前，所以应带负号。2.2行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等。性质2交换
6、行列式的两行（列），行列式改变符号。21性质3如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于0。性质4把一个行列式的某一行(列)的所有元素同乘以某一个数,等于以数乘这个行列式。性质5一个行列式中一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。性质6如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是0，那么这个行列式等于0。性质7如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于0。性质8设行列式的第行元素都可以表示成,那么等于两个行列式与的和，其中的第行元素是，的第行元素是，而与的其他各行都和的一样。同样的性质对于列来说也成立。性质9把行列式
7、的某一行(列)的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。2.3行列式计算中的几种基本方法2.3.1三角形法21就是利用行列式的性质，将给定的行列式化为上三角形或下三角形行列式，而上（下）三角形行列式的值即为其主对角线上所有元素的乘积。例1计算级行列式.分析该行列式具有各行（列）元素之和相等的特点.可将第列（行）都加到第一列（行）（或第列（行）加到第列(行)），则第1（或）列（行）的元素相等，再进一步化简即可化为三角形行列式或次三角行列式.解2.3.2加边法或升级法例2计算级行列式分析该行列式的各行（列）含有共同的元素可在保持原行列式值不
8、变的情况下，增加一行一列（称为升级发或加边法），适当选择所增加行（
